Serie de potencias

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TEMA 11:

SOLUCIONES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden: las de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o aquellas de las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.

Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales concoeficientes variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física, como las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coeficientes polinómicos.

Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables en términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., oinversas de éstas). Otras veces, aún sabiendo resolver la ecuación, había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.

Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones lineales de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.

En este tema se estudiará unmétodo de resolución basado en la representación de soluciones mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de Frobenius.

SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

[pic] (1(

ó en forma canónica :

[pic] (1´(

Definiciones.

Unpunto x0 se llama punto ordinario de (1( o (1´( si las funciones [pic] y [pic] son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de (1( si y sólo si P(x0) ( 0 ( siendo (1( no simplificable ).

Si x0 no es puntoordinario, se llama punto singular de la ecuación (1( ó (1´(.
______________

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1´( en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solucióndel problema de valor inicial definido por (1´( y las condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 ( I

Pero si además es x0 un punto ordinario de (1( ó (1´(, las p(x) y q(x) no sólo son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de (1( , surgen las preguntassiguientes:

¿Existen soluciones analíticas de (1( en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la forma :
[pic] (2(

En caso afirmativo :

¿Cómo se obtienen los coeficientes an?
¿Dónde converge la serie (2( ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones de la forma (2(, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarsetérmino a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.

Teorema:

Si x0 es un punto ordinario de (1( ( ó (1’( ) entonces la solución general de (1( en un cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma (2( y a su vez :

[pic]
siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, ylinealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la ecuación (1(, sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie (2( se...
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