Serie infinita

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  • Publicado : 30 de mayo de 2011
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Definición de Series infinitas:
Si {an}es una sucesión infinita,entoces:
ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…
se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ sellaman los términos de la serie.
Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:
S1= a1
S2= a1 + a2
S3= a1 + a2 + a3
Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:
Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :
Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an
Si la sucesiónde sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos
S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..
Si {Sn} diverge, diremos que la serie esdivergente.
Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales
de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos ensucesiones.
v

Propiedades de las Series Infinitas :
Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.
1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn)= A + B
3. ðoon=1 (an + bn)= A -B
Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)
Supresión de los N primeros términos de una serie:
Para cualquierentero porsitivo N, las series
ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..
Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcialSn.
Criterio del término n-ésimo para la divergencia:
Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.
Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que laserie dada converge y que :
ðoon=1 an= lím n-oo Sn = L
Entonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L
Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an...
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