Serie Taylor

Series de Taylor

El teorema de Taylor y su fórmula, la serie de Taylor es de gran
valor en el estudio de los métodos numéricos . En esencia, la
serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de
una función en un punto en términos del valor de la función y sus
derivadas en otro punto.
Una buena manera de comprender la serie de Taylor es
construirla término por término. Por ejemplo,el primer término
de la serie es :

A esta relación se le conoce como aproximación de orden cero,
indica que el valor de la función f en el nuevo punto es el mismo
que su valor en el punto anterior. Tal resultado tiene sentido
intuitivo, ya que si x_i y x_i+1 están muy próximos entre sí,
entonces es muy probable que el nuevo valor sea similar al
anterior.
La ecuación anterior ofrece unaestimación perfecta si la función
que se va aproximar es, de hecho, una constante. Por otro lado,
si la función cambia en el intervalo, entonces se requieren
términos adicionales de la serie de Taylor, para obtener una
mejor aproximación.
Acabamos de ver la aproximación de orden cero, ahora veremos
la aproximación de primer orden que se describe como:

El término adicional de primer orden consiste en lapendiente
f'(x_i) multiplicada por la distancia entre x_i y x_i+1
Claramente vemos que la nueva expresión representa la línea
recta y es posible predecir el incremento o decremento de la
función entre x_i y x_i+1
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1

Series de Taylor (#1)

Aunque la ecuación anterior puede predecir el cambio de la función,
sólo es exacta para una línea recta una tendencia lineal, por lo tantoagregaremos un siguiente término, el término de segundo orden algo
de la curvatura por lo que presentamos la ecuación como:

De forma similar, se agregan los términos adicionales para desarrollar
la expansión completa de la serie de Taylor obteniendose:

Observese que esta última ecuación es una serie infinita, el signo de
aproximación =~ se reemplaza por el signo de igual y se incluye el
términoresidual (R) para considerar todos los términos desde n+1
hasta el infinito:
Donde el subíndice indica que este es el residuo de la aproximación del
n-ėsimo orden y £ es el valor de x que se encuentra en algún punto
entre x_i y x_i+1. El valor de £ es muy importante y se estudiará con
mayor detalle más adelante.
Para mejor manejo de la serie de Taylor, simplificaremos el término del
incremento y loreemplazamos por h= x_i+1 - x_i y tendremos la serie
de Taylor expresada como:

Donde el término residual es ahora:

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Series de Taylor (2/5)

Ejemplo:
Utilice las aproximaciones de series de Taylor de las órdenes de cero
hasta cuatro para aproximar la función
f(x)= -0.1x^4 - 0.15x^3 - 0.5x^2 - 0.25x + 1.2
Desde x_i=0 con h=1, estime el valor de la función x_i+1=1
SoluciónYa que se trata de una función conocida es posible calcular los
valores de f(x) entre 0 y 1
La aproximación de la serie de Taylor con n=0 es
f(x_i+1)~= f(x_i)
f(x_i+1) ~= 1.2
Como podemos ver la aproximación de orden cero es una constante,
si evaluamos la función cuando x=1, el valor de la función es de 0.2
esto es f(1)=0.2.
Podemos calcular el valor de truncamiento entre el valor verdadero
[f(1)]y el valor de la aproximación de orden cero f(x_i+1) ~= 1.2
E_t= valor verdadero-valor aproximado
E_t= 0.2 - 1.2 = -1.0
Para n=1 se debe determinar el valor y evaluar la primera derivada
en x=0
f'(x)=-4(0.1)(x)^3-3(0.15)(x)^2-2(0.5)(x)-0.25
f'(0)=-(0.4)(0)^3 -0.45(0)^2-1.0(0)-0.25
f'(0)= -0.25
La aproximación de primer orden es entonces :
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Series de Taylor (3/5)

f(x_i+1)=~f(x_i) +f'(x_i)(x_i+1 - x_i)
f(x_i+1)=~1.2-0.25h siendo h=1 entonces f(1)
f(1)= 1.2-0.25(1)
f(1)= 0.95,
Ahora la aproximación no es una constante sino una línea recta que que
aproxima a la solución y el error de truncamiento se calcula una vez
más
E_t= valor verdadero-valor aproximado
E_t= 0.2 - 0.95 = -0.75
Para n=2, se evalúa la segunda derivada en x=0
f''(x)=-(3)(0.4)(x)^2-(2)(0.45)(x)-(1)...