Serie taylor

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Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie depotencias:

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguientesuma

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la sumaes igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Unafunción es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Series de Taylor notables

La función coseno.

Una aproximación deoctavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes de arriba puestas juntas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funcionesimportantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio
para
y cualquiercomplejo
Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Función W de Lambert

Los números Bk que aparecen en los desarrollosde tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
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