Series de fourier
Páginas: 9 (2166 palabras)
Publicado: 31 de enero de 2012
Unidad 5 Series De Fourier
El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iníciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico .Es una aplicación usada en muchas ramas de laingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de unsistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función.
[pic]
5.1 Funciones ortogonales.
Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo de funciones que satisfacen una propiedad que sellama ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería.
DEFINICION:
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar [pic] es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sidodotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es:
[pic]
con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1). Véase también espacio de Hilbert para más detalles.
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las solucionesde ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:
[pic]
Forman un espacio prehilbertiano bajo el prodcto vectorial definido por
5.2 Conjuntos Ortogonales y Ortonormales.
Un conjunto defunciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n ¹ m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que{f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo paraobtener suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar.
Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b].Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el...
El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iníciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico .Es una aplicación usada en muchas ramas de laingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de unsistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función.
[pic]
5.1 Funciones ortogonales.
Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo de funciones que satisfacen una propiedad que sellama ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería.
DEFINICION:
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar [pic] es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sidodotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es:
[pic]
con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1). Véase también espacio de Hilbert para más detalles.
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las solucionesde ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:
[pic]
Forman un espacio prehilbertiano bajo el prodcto vectorial definido por
5.2 Conjuntos Ortogonales y Ortonormales.
Un conjunto defunciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n ¹ m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que{f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo paraobtener suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar.
Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b].Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el...
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