Series De Fourier

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Series de Fourier: conceptos básicos.
Funciones pares e impares, series del seno y el coseno.

Taller No 3

1. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno delos dos casos:
a) x5sen(x)
b) x2sen(2x)
c) ex
d) senx3

e) senx2
f) cosx+x3
g) x+x2+x3
h) ln1+x1-x

2. Demuestre que cualquier función f definida en un intervalo simétricamentelocalizado puede expresarse como la suma de una función par y una función impar. Sugerencia: fx=12fx+f(-x)+12fx-f(-x)

3. Demuestre analíticamente las propiedades :

a) Si f es par en –L,L,entonces -LLfxdx=20Lf(x)dx
b) Si f es impar en –L,L, entonces -LLfxdx=0
Dividiendo la integral y llevando a cabo un cambio adecuado de variables.

4. Demuestre que la serie de tipo seno de lafunción constante fx=π4 es:

π4=senx+sen3x3+sen5x5+…
Para 0<x<π. ¿Qué suma se obtiene estableciendo x=π2? ¿Cuál es la serie de tipo coseno de esta función?

5. Encuentre la serie de Fourierpara la función de periodo 2π definida por fx=cosx2, -π≤x≤π. Trace la gráfica de la suma de esta serie en el intervalo -5π≤x≤5π.

6. Encuentre las series de Fourier de tipo seno y de tipocoseno para fx=senx.

7. Encuentre la serie de Fourier de la función de periodo 2π definida en su periodo fundamental –π,π por
fx= x+π2 si -π≤x<0-x+π2 si 0≤x≤π

a) El cálculodirecto de los coeficientes de Fourier.
b) Utilizando la fórmula

x=π2-4πcosx+cos3x32+cos5x52+…

Trace la gráfica de la suma de esta serie (una onda triangular) en el intervalo
-5π≤x≤5π.8. Para la función fx=π-x, encuentre:
a) Su serie de Fourier en el intervalo -π<x<π;
b) Su serie de Fourier de tipo coseno en el intervalo 0≤x≤π;
c) Su serie de Fourier de tiposeno en el intervalo 0≤x≤π.

Trace la gráfica de la suma de cada una de estas series en el intervalo -5π,5π.

9. Sea
fx= x si 0≤x≤π2π-x si π2<x≤π

Demuestre que la serie de...
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