Series De Furier Y Transformada De Laplace

Instituto tecnologuico superior de la reguion sierra
Matematicas 5
Catedratico: Eduardo de la fuente
Alumno: janssen del Carmen nanguse Jimenez
Carrera: ing. Electromecánica
Teapa tabasco

3.1 Definición de la trasformada de Laplace.
 
 Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

Cuando tal integral converge
La letra s representa una nuevavariable, que para el proceso de integración se considera constante

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s

Tabla de Transformadas

Obtención 
 
Obtención
 
Obtención
 
Obtención Para n entero
 
Obtención Para  
 
Obtención Para s > a
 
Obtención
 
Obtención

Obtención 

Obtención

 
 
 

3.2 Condiciones suficientes deexistencia para la trasformada de Laplace.
 
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe.
Es decir, existe un número tal que existe para .
 
Demostración

Por ser de orden exponencial existen números no negativos , y tales que , para . Así que
 
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La primera integral 
 
es una integral definida, portanto existe. Para la segunda integral note que

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Ahora, como 

Siempre y cuando , tenemos que la integral

Existe y con ello la transformada.
Ejemplo

Compruebe que la transformada 

Existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.

  
Solución

Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cualno es continua a trozos en el intervalo ; pero
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Para calcular esta última integral sea 
 
Con lo cual 

 
 
Ahora note que
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Figura 1.4
Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces

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Con locual, tomando el límite 

3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas.
 
Decimos que la función     es de orden exponencial si existen números , y tales que

para  
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la 1.3. 
  
 
Figura 1.3
Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial,conviene calcular el siguiente límite: 
 
para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
Ejemplo 
Compruebe que es de orden exponencial.

Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital

para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande
,y así es de orden exponencial. 
  
Ejemplo
Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de . 
  
Solución 
Calculando el límite

 
siempre y cuando . De donde, para grande.
Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica como  con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un númerofinito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden exponencial
 
3.4Trasformada de Laplace de funciones
definidas por tramos.

Decimos que una función     es continua a trozos si
1.- está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para .
2.- Para cada los límites
 
Existen. Note que, solamente uno de estoslímites es pertinente si es uno de los extremos de.
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.
 

Figura 1.2

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.
Otra de las...