Series de furier

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA

SERIES DE FOURIER
Matemáticas V. Unidad V.
Zalapa Pasaye Jesus Adalberto No. Control: 06120118 Parra Parra Julio Cesar No. Control: 06120106

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SERIES DE FOURIER
INDICE

Introducción 5.1 Funciones ortogonales 5.2 Conjuntos ortogonales y ortonormales 5.3 Definición Serie de Fourier 5.4 Convergencia de una Serie de Fourier 5.5 Serie de Fourier de unafunción periodo arbitrario 5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares 5.7 Serie de Fourier en medio intervalo 5.8 Forma compleja de la serie de Fourier Conclusión Bibliografía y Referencias Web

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SERIES DE FOURIER
INTRODUCCION
Fourier es quien invento una ecuación con infinitos términos que sirve para representar cualquier función. Una serie deFourier es
una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iníciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Las series de Fourier son una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería,además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Algunas áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de unsistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

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5.1 Funciones ortogonales
En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u yv son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u . v, posee las propiedades siguientes:

I) II) III) IV)

(u,v) = (v,u)
(ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar (u, u) = 0, si u = 0, y (u, u) > 0 si u ≠ 0 (u + v, w) = (ll, w) + (v, w)

Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismaspropiedades.

Producto interno.- Supongamos ahora que f1 y f2 son funciones definidas en un intervalo [a, b]. Como
una integrar del producto f1(x)f2(x) definida en el intervalo también posee las propiedades I a IV siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:

El producto interno de dos funciones f1 y f2 en un intervalo [a, b] es el número ������1, ������2 =������ ������ ������ 1

������ ������2 (������)dx

Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en forma semejante: Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si: ������1, ������2 =
������ ������ ������ 1

������ ������2 (������)dx = 0

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabraortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (I) no tienen significado geométrico.

Ejemplo: Las funciones ������1 ������ = ������ 2 ������ ������2 ������ = ������ 3 son ortogonales en el intervalo [-1, l] porque ������1, ������2 =
1 1 ������ −1 1

������ ������2 ������ dx

=

1 (������ 2 ) (������ 3 ) ������������ = ������ 6 ∣ 1 = 0...
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