Series De Furier

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Unidad 5
Series de Fourier
INTRODUCCION
Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti-transformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno, las Transformadas de Fourier, propiedades einterpretación.
SERIE DE FOURIER
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica

Donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:

Ejemplo 1: Deducir la forma de y expresar Cn y q n en términos de an t bn.
Se puede expresar así

Se utilizala entidad trigonométrica

Donde

Por consiguiente,
ó
También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conocecomo la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

5.1 Funciones Ortogonales
INTRODUCCION.
Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo de funciones que satisfacen una propiedadque se llama ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería.

DEFINICION:
Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones.
Sean  (x) y (x) dos funciones reales que están definidas en un intervalo
 a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(,). Entonces:
| (1)|
Se dice que las funciones

son ortogonales en el intervalo

a ≤ x ≤ b si

Relaciones de Ortogonalidad
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las más sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourierestán basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo FuncionesOrtogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que

Sistemas de funciones ortogonales
Trabajamos con funciones: (a veces: o )
Podemos escribir una función como combinación lineal de una colección de funciones siendo tomado de un conjunto de índices finito o infinito

p.ej.: series de Fourier
Por qué?
* a lo mejor se puede encontrarpara un problema fácilmente soluciones para las funciones y con esas soluciones se puede derivar una solución para
p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los, se puede derivar su compartimiento para
* a lo mejor ciertas características de la función se puede observar mejor entre los coeficientes (y aprovechar de ello)
p.ej.:
* Qué frecuencias están ``dentro''de una señal acústica?
* Tiene una imagen cierta textura?
* Tiene discontinuidades?
* ...
Otras preguntas parecen interesantes:
* Cuáles de las posibles funciones se puede representar de tal forma?
* Son los coeficientes únicos?
* Cómo se calcula los (dados los y)?
5.1 FUNCIONES ORTOGONALES
• Producto interno • Funciones ortogonales • Conjunto...
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