Series de Taylor

Área de Análisis Matemático
Universidad de Zaragoza

Cap´
ıtulo 9

Series de potencias. Desarrollos en
serie de Taylor
En la representaci´n (e incluso en la construcci´n) de funciones, desempe˜an un papel especialo
o
n
mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de
su estudio corresponden a la teor´ de funciones de variable complejam´s que a la teor´ de funcioıa
a
ıa
nes de variable real, por lo que aqu´ damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes
ı
para nuestros prop´sitos. Como referencia utilizamos [Apostol1].
o

9.1.

Series de potencias

9.1.1.

Convergencia de las series de potencias

Definici´n 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma
o
∞

an (x − c)n .
n=0El n´mero real an se denomina coeficiente n-´simo de la serie de potencias (obs´rvese que el
u
e
e
n ). Si los coeficientes a , a , a
t´rmino n-´simo es an (x − c)
e
e
0
1
m−1 son nulos, la serie suele escribirse
∞
an (x − c)n .
n=m
En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´rminos”. Veremos que, a
e
la hora de operar con ellas, las funciones definidascomo suma de una serie de potencias comparten
muchas propiedades con los polinomios.
¿Para qu´ valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para
e
x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´ste sea el unico punto en el que la serie converge. Fuera
e
´
de este caso extremo, la situaci´n es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
o
Ejemplos. (1) La seriegeom´trica
e
∞

xn
n=0

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos).
(2) La serie
∞
xn
n
n=1

converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.
157

CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

158

(3) La serie
∞

1 n
x
n2

n=1

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1].(4) La serie
∞
(−1)n x2n
n
n=1

converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.
(5) La serie
∞
xn
n!
n=0

converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ).
(6) La serie
∞

n! xn
n=0

converge solamente para x = 0.
Lema 9.1.2. Si para alg´n r ∈ (0, +∞) la sucesi´n (an rn ) est´ acotada, entonces para cada x ∈ R
u
o
a
∞
n esabsolutamente convergente.
tal que |x − c| < r la serie n=0 an (x − c)
Demostraci´n. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga
o
|an | rn ≤ M.
Entonces

∞

∞

|an | |x − c|n =
n=0

|an |rn
n=0

|x − c|n
rn

est´ mayorada por la serie convergente
a
∞

M
n=0

|x − c|n
.
rn

Definici´n 9.1.3. Dada una serie de potencias
o
el valor (finito o infinito) dado por

∞
n
n=0 an (x − c),

su radio de convergencia es

∞

an (x − c)n converge}.

r = sup{|x − c| :
n=0

Si r > 0, el intervalo (c−r, c+r) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Corolario 9.1.4. Dada una serie de potencias
tiene:

∞
n=0 an (x

− c)n , con radio de convergencia r, se

a) la serie converge absolutamente en cada punto x de su intervalo de convergencia; en otraspalabras, si |x − c| < r, la serie ∞ an (x − c)n es absolutamente convergente;
n=0
b) la serie no converge en los puntos x tales que |x − c| > r.
Nota. Seg´n los ejemplos previos, cuando r es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en
u
los puntos c+r, c−r. Tampoco hay un resultado general sobre convergencia uniforme en (c−r, c+r).

9.1. SERIES DE POTENCIAS

159Demostraci´n. a) De la definici´n de r se deduce que si |x − c| < r, debe existir un punto x1 tal
o
o
que |x − c| < |x1 − c| y ∞ an (x1 − c)n converge. Aplicando el lema anterior, ∞ an (x − c)n
n=0
n=0
debe converger absolutamente.
b) Consecuencia directa de la definici´n de r.
o
Ejemplos. (1) La serie ∞ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para
n=1
x = −1 es oscilante.
∞...