Series Numericas

María Fernanda Hernández Galicia

Series Numéricas

22/Marzo/2012

Universidad Anáhuac del Sur

Arquitectura

INTRODUCCIÓN

Una serie es una suma de infinitos sumandos. Tales sumas se usan
Implícitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los números reales:

DESARROLLO

1. Serie Aritmética
a. Definición
Los elementos de la sucesión son de laforma an=nk, donde k <> 0.
b. Ejemplos
i. Serie de Gauss: 1+2+3+…+n
ii. La suma de los primeros n cubos (como suma de serie aritmetica simple al cuadrado)

2. Serie Geométrica
a. Definición
Los elementos de la sucesión son de la forma an=rn, donde r <> 0, 1.
b. Ejemplos
i. Ajedrecista: 1+2+4+8+16+…+2^63
ii. Resolución de forma general de la serie geométrica
iii.Aplicación en la serie (1/2)0+ (1/2)1+ (1/2)2+…+ (1/2)n

3. Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia
Una serie de potencias centrada en un punto x0 ∈ R es una expresión de la forma
∞X
n=0 an(x − x0) n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·
Donde a0, a1,. . . son constantes reales. La serie anterior también se denomina serie de potencias de x−x0.
Obsérvese que en las series depotencias adoptaremos el convenio de hacer variar el índice de la suma
Desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de que el
Subíndice de cada monomio coincida con el grado de éste.
Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x
∞X
n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·
Puesto que un simple cambio de variables, tomandocomo nueva variable x−x0, permite reducir cualquier
serie de potencias considerada a otra análoga con x0 = 0, en lo sucesivo sólo manejaremos este último
caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restricción a los resultados que obtengamos.
Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesión de funciones {Sn(x)} definida así:
Sn(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxnque recibe el nombre de sucesión de sumas parciales.

4. La sucesión de Fibonacci.
Es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 1 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del sigloXIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Antecedentes

Siglo XII. En 1170, entre tantos eventos importantes, untal Bonaccio, residente en Pisa
(donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebra el nacimiento de su hijo
Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño
como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci.
Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia,
necesita que su hijo sepa de números, por lo que obliga al chiquillo aestudiar
aritmética posicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las
matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó.
El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo
que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el
sistema de numeración arábigo era poco menos que una curiosidad: todo el
mundo usaba los números romanos. Y ya se sabelo difícil que es multiplicar
por no hablar de dividir con números romanos.
Fibonacci, recordando el curso de aritmética hindú aprendido de niño,
escribe, en 1202, su tratado Liber abaci ("El Libro del Ábaco") que es, ni
más ni menos, un tratado sobre el sistema numeral indoarábigo. En él
presenta al público y a los científicos europeos los signos hindúes (1, 2, 3...)
y el 0 árabe, donde...