Series

Matemáticas 1 1
Elena Álvarez Sáiz

EJERCICIOS RESUELTOS: Series numéricas

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Series numéricas

1 Calcular la suma de las siguientes series: (a) 4 + π −
1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 3 4 2 2 2 2 2n

(b)

n =1

∑ n 3 + 3n 2 + 2n

∞

3n + 2Solución:
1 2 1 (a) 4 + π − + 2 = 4 + π 2 1 1− 2

(b) Descomponiendo en fracciones simples
3n + 2 n + 3n + 2n
3 2

=

1 1 2 + − n n +1 n +2

    1 1 1  1 1 1 1  2 2 2 2 2  Sn =  1 + + + ... +  +  + + ... + +      2 3  −  3 + 4 + ... + n + n + 1 + n + 2  =         2 3 n  n n + 1    1   2  1  1   2  1 2  = 1 +  +  +   +  −  = 2−n+1−n +2        2  2 n + 1 n + 1 n + 2 

 1 2    S = lim  2 − − =2   n →∞   n + 1 n + 2

2

Dada la serie • •

n =1

∑

∞

n . Se pide:

Determina su carácter Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales. Justificar los pasos seguidos.

•

Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo ordenque su suma parcial n-ésima.

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Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en  1, ∞ ) se verifica
n

∫ f ( x )dx < ∑ f ( k ) < ∫ f ( x )dx + f ( n )
1 k =1 1

n

n

Forma 1: En general para una función f decreciente y positiva en ( 1, ∞ )la sucesión
n

k =1

∑ f (k )

n

es

del mismo orden que

∫ f ( x )dx .
1

Si la función f es creciente se verifica
n

∫
1

f ( x )dx <

k =1

∑ f (k ) <

n

n

∫ f ( x )dx + f ( n )
1

En este caso f ( x ) = x es creciente por lo que:
2 3/2 ( n − 1) = 3
n

∫
1

xdx < S ( n ) =

k =1

∑

n

n

k <

∫
1

xdx + n =

2 3/2 n + n 1/2 3Como el infinito n 3/2 es de orden superior a n 1/2 se tiene que:
S (n ) ≈ 2 3/2 n 3

En efecto,
lim S (n ) 2 3/2 n 3 = 3 1 + 2 + 3 + ... + n 3 n lim = lim 3/2 3/2 n →∞ Stolz 2 n →∞ 3/2 1 n n − ( n − 1)
n n 3/2 + ( n − 1 ) n 3 − ( n − 1)
3

n →∞

Multiplicando por el conjugado

=

3 lim 2 n →∞

(

3/2

)=

=

n + (n − 1) n 3 3 lim = lim =1 n →∞ n 3 − n 3 − 3n 2 + 3n − 1Dividiendo 2 n →∞ 3n 2 − 3n + 1 2 ( ) 2
2 3/2 1/2 por n

3/2  1 1 + 1 +       n

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S

3

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Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2: Basta considerar la equivalencia:
1k + 2k + 3k + ... + n k ≈ n k +1 k +1

En nuestro caso k = .

1 2

3Determinar la suma parcial enésima que permite calcular que 10−2

n =1

∑

∞

1

( 2n + 1)

3

con un error menor

Solución:

Consideramos la serie S =

n =1

∑

∞

1

( 2n + 1)
∞

3/2

que es convergente (por comparación con la

serie armónica generalizada: la serie.

n =1

∑ np

1

con p=3/2>1) y Sn la suma parcial n-ésima de

Teniendo en cuenta que f ( x ) =cumple
S − Sn = 1 +

1

( 2x + 1)

3/2

es decreciente y positiva en  1, ∞ ) se

1

( 2n + 3 )

3/2

( 2n + 5 )

3/2

+ ... =

k = n +1

∑

∞

h

f ( k ) ≤ lim

h →∞

∫ f ( x )dx
n

Como

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h

h

∫ h →∞
lim
n

f ( x )dx= lim

∫ h →∞
n

 dx = lim  − 3/2 h →∞  ( 2x + 1 )  1

1

( 2h + 1 )

+

 =  2n + 1 )  ( 1

1 2n + 1

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima está acotado por
error = S − Sn ≤ 1 2n + 1

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el valor de n cumpliendo:
1 2n + 1 < 1 10
2

⇔ 104 < 2n...