Series

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´ I.T.INFORMATICA ´ CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS BOLETIN

´ CALCULO INFINITESIMAL CURSO 2005-06

1. Sucesiones y series num´ricas e
1. Escribir una expresi´n para el n-´simo t´rmino de la sucesi´n: o e e o 1 3 7 15 a) 1 + , 1 + , 1 + , 1 + , · · · 2 4 8 16 1 2 3 b) , , ,··· 2·3 3·4 4·5 1 1 1 1 c) 1, , , , ,··· 2 6 24 120 1 1 1 , , ,··· d) 1, 1·3 1·3·5 1·3·5·7 e) 2, −4, 6, −8, 10, .. . f) 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, . . . 2. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesi´n cuyo t´rmino n-´simo se da. En caso de o e e convergencia, determinar el l´ ımite. a) an = b) an = c) an d) an e) an f) an g) an h) an i) an j) an 1 n3/2

n n−1 − n n−1 3n2 − n + 4 = 2n2 + 1 log(n2 ) = n nπ = cos 2 n! = n n np = n , (p > 0) e n = n+2 2 √ = nn √ √ √ 1 + 2 2 + 3 3 3 + ··· + n n n = n23. En el estudio de la procreaci´n de conejos, Fibonacci (hacia 1175-1250) encontr´ la hoy famosa sucesi´n o o o que lleva su nombre, definida por recurrencia como an+2 = an + an+1 , a) Escribir sus 12 primeros t´rminos. e b) Escribir los 10 primeros t´rminos de la sucesi´n definida por e o bn = an+1 , para n ≥ 1. an a1 = 1, a2 = 1 .

C.I. Ingeniero T´cnico en Inform´tica Curso 2005-06 e a2

c) Usando la definici´n del apartado anterior, probar que o bn = 1 + 1 bn−1

1 d) Si lim bn = α usar los apartados anteriores para verificar que α = 1 + α . Resolver esta ecuaci´n o en α (α se conoce como la secci´n ´urea). o a

4. Verificar que la serie dada es divergente.


a)
n=1 ∞



n n2 +1
n

.

b)
n=20 ∞

3

3 2

.

c)
n=0 ∞

1000(1, 055)n . 2n + 1 . 2n+1n=1 n! . 2n n=1


d)

e)

5. Verificar que la serie dada converge:


a)
n=0 ∞

(0, 9)n 1 . (Usar fracciones simples). n(n + 1) n=1 1 . n(n + 2) n=1


b)

c)

6. Calcular la suma de las series convergentes dadas.


a)
n=1 ∞



1 2

n

.

b)

4 . n(n + 2) n=1 1 . (2n + 1)(2n + 3) n=1
∞ ∞

c)

d)
n=1

1 1 − n . 2n 3

7. Expresar cada decimal peri´dicocomo una serie geom´trica y escribir su suma en forma de cociente o e de dos n´meros enteros. u a) 0, 07575 b) 0, 21515

C.I. Ingeniero T´cnico en Inform´tica Curso 2005-06 e a

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8. Sea

an una serie convergente y sea Rn = an+1 + an+2 + · · ·

el resto de la serie tras los n primeros t´rminos. Demostrar que lim Rn = 0. e 9. Hallar dos series divergente bn diverge, demostrar que an y bntales que (an + bn ) diverge. (an + bn ) sea convergente. Si an converge y

10. Usar el criterio de comparaci´n directa para saber si la serie converge o no. o a) 1 . n2 + 1 n=1
∞ ∞

b)
n=0 ∞

3n

1 . +1

c)

log n . n+1 n=2 1 . n! n=0
∞ ∞

d)

e)
n=0 ∞

e−n . 4n . −1

2

f)
n=1

3n

11. Usar el criterio de comparaci´n en el l´ o ımite para determinar si la serie esconvergente o divergente.


a)
n=2 ∞



1 n2 −1

.

b)

2n2 − 1 . 3n5 + 2n + 1 n=1


c)
n=1 ∞

n(n2

1 . + 1) k > 2.

d)

nk−1 , nk + 1 n=1


e)
n=1

tg

1 . n an

12. Usar el criterio de comparaci´n en el l´ o ımite con la serie arm´nica para demostrar que la serie o (con an ≥ 0) diverge si lim nan = 0. 1 sin( ) diverge. Ayuda: Usa el apartado anterior nn=1


13. Probar que la serie

14. Probar que si P (n) y Q(n) son polinomios de grados respectivos j y k, la serie

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P (n) Q(n) n=1 converge si j < k − 1 y diverge si j ≥ k − 1. 15. Analizar si la serie dada es convergente o divergente, usando el criterio de series alternadas. a) (−1)n+1 . n n=1 (−1)n n2 . n2 + 1 n=1 (−1)n+1log(n + 1) . n+1 n=1
∞ ∞ ∞ ∞



b)

c)

d)
n=1 ∞

sin

(2n + 1)π . 2

e)

(−1)n . (2n)! n=1 2(−1)n+1 . en − e−n n=1


f)

16. Determinar si la serie dada es condicional o absolutamente convergente. a) (−1)n+1 . (n + 1)2 n=1 (−1)n+1 . n+1 n=1 (−1)n . log n n=2 (−1)n n . n3 − 1 n=1 cos n . n2 n=1 sin[(2n − 1)π/2] . n n=1
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

b)

c)

d)

e)

f)

17....
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