Series

Tema 4.3: Desarrollo de Taylor. Equivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo
Tal y como ya anunciábamos en el tema anterior, vamos a sacarle partido a la fórmula de Cauchy para la circunferencia: 9 Z = = C > f (w) 1 dw; 8z 2 D(a; r): f 2 H ( ) > ) f (z) = i2 C(a;r) w z ; D(a; r)

El resultadoque probamos a continuación es la muestra más explícita de cómo la variable compleja es el lugar adecuado para el concepto de analiticidad. Observa detenidamente las hipótesis en el próximo resultado; luego, contempla la tesis (y ambas dos cosas comparadas con el resultado arriba expuesto). ¿No te parece realmente espectacular! Teorema (del desarrollo en serie de Taylor). Sean = y D(a; r) . Entonces! Z +1 X f (w) 1 n f (z) = dw (z a) ; i2 C(a;r) (w a)n+1 n=0 C; f 2 H ( )

8z 2 D(a; r):

Demostración. Para z 2 D(a; r) …jo, aunque arbitrario, tenemos que 1 w z =
+1 X (z

a) a)

n

n=0

(w

n+1

uniformemente para w 2 C (a; r). Como f es continua en D(a; r), en particular, estará acotada en la circunferencia C (a; r) ; y, por tanto,
+1 X f (w) (z a)n f (w) = ; w z n=0 (wa)n+1

1

uniformemente para w 2 C (a; r). En consecuencia Z 1 f (w) f (z) = dw i2 C(a;r) w z ! Z +1 X f (w) 1 dw (z = i2 C(a;r) (w a)n+1 n=0

a) ; 8z 2 D(a; r);

n

donde en la última igualdad hemos conmutado serie e integral. Y el z; aunque …jo, era arbitrario. Q.E.D. La fuerza de este resultado se mani…esta en sus logros: 1. Nuestra función, que "sólo" era holomorfa, se presenta ahoracomo analítica. 2. En particular, es inde…nidamente derivable. 3. En consecuencia: 1 f n) (a) = n! i2 Z f (w) (w a)
n+1 dw;

C(a;r)

8r > 0 : D(a; r) 8n 2 N [ f0g

:

4. Y, en consecuencia, el desarrollo no depende del r > 0 elegido. 5. Y, en consecuencia, la serie convergerá en el mayor disco centrado en a que permanezca completamente en el abierto. Pasamos a enunciarlos correctamente.Corolario Sea = C. Entonces, se tiene que: f 2 H ( ) , f es analítica en :

Corolario Si f 2 H (C) ; entonces, para cada a 2 C, la serie de Taylor de f centrada en a, tiene radio de convergencia R = +1 y el desarrollo en serie es válido en todo el plano C: Corolario Sean un abierto propio del plano, f 2 H ( ) y a 2 . Entonces, n) P n (a) la serie de Taylor de f centrada en a, a saber: n 0 f n! (za) , tiene radio de convergencia r dist(a; Cn ) y se veri…ca f (z) =
+1 X f n) (a) (z n! n=0

a) ;

n

8z 2 D(a; dist (a; Cn )):

Demostración. Llamemos ra al radio de convergencia de la serie de Taylor de f centrada en a. Sea s < dist(a; Cn ); entonces D(a; s) . Por tanto, existe una serie de potencias centrada en a y convergente a f en D(a; s). Pero tal serie no puede ser otra que laserie de Taylor de f centrada en a; luego s ra ; y así ra dist(a; Cn )). Q.E.D. 2

Nota: Observa que es posible la situación D(a; ra ) * : Sorprendente, pero no nos había sido posible, hasta ahora, establecer que: Corolario La composición, el producto y el cociente de funciones analíticas son, nuevamente, funciones analíticas. Corolario Sean un abierto del plano C, f 2 H ( ) y a 2 . Entonces, Z n!f (w) 8r > 0 : D(a; r) n) f (a) = dw; : 8n 2 N [ f0g i2 C(a;r) (w a)n+1

Volviendo sobre nuestros pasos, recordemos que hemos probado que si una función es holomorfa en un abierto, su función derivada vuelve a ser otra función holomorfa. Es decir, que si bien en el caso real, para un intervalo I, teníamos toda una gama de clases de funciones distintas en la cadena C (I) ! ::: ! Dn (I) ! C n (I)! ! Dn+1 (I) ! C n+1 (I) ! ::: ! A (I) = C 1 (I) (la clase C n (I) de las funciones continuas con derivada n-ésima continua contiene de modo propio a la clase Dn+1 (I) de las funciones derivables n + 1 veces; la cual, a su vez, es superconjunto propio de C n+1 (I) las funciones continuas con derivada n + 1-ésima continua); ahora, en el caso complejo, tenemos que esa cadena se reduce a ¡ dos...