Series

Contenido
4.1 Series 2
Finita o infinita 2
Ejemplos 2
En Orden 2
La Regla 2
¡Pero la regla debería ser una fórmula! 3
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9,...}? 3
Notación 4
Posición del término 4
Tipos de sucesiones 4
Sucesiones aritméticas 4
Ejemplos 5
Sucesiones geométricas 5
Ejemplos: 5
Sucesiones especiales 5
Números triangulares 5
Números cuadrados 6
Númeroscúbicos 6
Números de Fibonacci 6
4.4 SERIES DE POTENCIAS 8
4.5 Calculo de radio de convergencia 13
4.6 Serie de Taylor 17
4.7 Representación de funciones mediante serie de Taylor 18
Función exponencial y logaritmo natural 18
Serie geométrica 18
Teorema del binomio 18
Funciones trigonométricas 19
Función W de Lambert 20
Varias variables 20
4.8 Calculo de Integrales expresadas como serie deTaylor 21

4.1 Series
¿Qué es una sucesión? Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.


Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita.
Ejemplos
{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35,...} también es una sucesióninfinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás es una sucesión finita
{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético es una sucesión finita
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en elnombre "Alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En Orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sípuede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La Regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9,...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:


¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dicecómo se calcula el:
• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9,...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:Probamos la regla: 2n
n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n Término Regla
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9,...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término
Es normal usar xn para los términos:
• xn es el término
• n es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término"sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9,...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar,...