Series

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Términos que se calculan a partir delas derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre lafunción.

La serie de una función real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie depotencias
que puede compactarse con esta notación:

... donde n! denota el factorial de n y ƒ (n)(a) la derivada enésima de ƒ evaluada para elvalor a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llamaanalítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Se suele aproximar una funciónmediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Sedenomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, encaso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo talserie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.