Series

alesRESUMEN DE TEORIA
Primera Parte: Series y Sucesiones
SUCESIONES

Definición: La sucesión
converge a L y se escribe lim →
= si para cada número positivo
| − | < . Si no hay un número
hay un número positivo correspondiente N tal que ≥ =>
finito L al que converja una sucesión, se dice que esta diverge o que es divergente.

SE CUMPLE LAS MISMAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES ENMATEMATICAS 1. REVISARLAS.

Teorema: “Teorema del emparedado” Supóngase que
para ≥ . Entonces
también converge a L.
Teorema: Si lim

→

|

| = 0 entonces lim

→

y

converjan a L y que

=0

≤

≤

Teorema: Si U es una cota superior para una sucesión no decreciente
, entonces la sucesión
converge a un límite A que es menor o igual a U. De manera análoga, si L es una cota inferiorpara una
sucesión no creciente
entonces la sucesión
converge a un límite que es menor o igual a L.
SERIES

Definición. La serie infinita ∑
converge y tiene suma S si la sucesión de sumas parciales
converge a S. Si
diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.
Teorema: “Criterio del n-ésimo termino para la divergencia”
Si la serie ∑
converge, entonces limexiste el límite entonces la serie diverge.

→

= 0. En forma equivalente, si lim

Teorema: Linealidad de las series convergentes.
Si ∑
y∑
converge y
∑

∑

(

Teorema: Si ∑

convergen y “c” es una constante, entonces ∑

= ∑

+

)=∑

+∑

diverge y ≠ 0 entonces ∑

y∑

≠ 0 o si no

→

(

+

) también

diverge.

Teorema: “Agrupación de términos en una serieinfinita”
Los términos de una serie convergente se pueden agrupar de cualquier manera (siempre que el
orden de los términos se mantenga) y la nueva serie convergerá a la misma suma que la serie
original.

SERIES POSITIVAS
Teorema: “Criterio de la integral”

Sea f una función CONTINUA, POSITIVA, NO CRECIENTE definida en el intervalo 1, ∞) y suponga que
= ( ) para todo entero positivo “n”.Entonces la serie infinita

Converge si y solo si la integral impropia



Converge.

NOTA: Para el uso de este criterio se debe PODER integrar fácilmente la serie, de lo contrario no es
viable. Por otro lado es MUY IMPORTANTE “DEMOSTRAR” las hipótesis (continua, positiva,
decreciente) para luego aplicar la integral, sino lo demuestra estaría mala la respuesta”

Teorema: “Criterio decomparación ordinaria”
Suponga que 0 ≤
(a) Si ∑
(b) Si ∑

≤

para todo

≥

.

converge, también ∑
diverge, también ∑

Teorema “Criterio de comparación del límite”
Suponga que

≥ 0,

> 0 y que

lim
→

=

Entonces 0 < < ∞ se tiene que ∑
y∑
se comportan iguales. Mientras que si = 0 y
∑
converge entonces ∑
también converge. Por otro lado si = ∞ y ∑
diverge,
entonces ∑también diverge.
NOTA: Se puede utilizar este criterio a su voluntad, ya que
es la que usted quiera emplear, la
recomendación seria SELECCIONAR UNA
tal que el limite existe, recuerde los limites NOTABLES y
los LIMITES AL INFINITO de matemáticas 1. “Suerte”

Teorema: “Criterio del cociente”
Sea ∑

(a) Si
(b) Si
(c) Si

una serie de términos positivos y supóngase que
lim
→

< 1la serie converge
> 1 la serie diverge.
= 1 No es concluyente.

=

NOTA: Este criterio representa una poderosa herramienta cuando en la serie aparece términos
tales como ! ; ;
(factoriales, potencias y potencia de potencia). Ya que al aplicar el criterio se
cancelan estas operaciones las cuales desconocemos su comportamiento al infinito.

Teorema: “Criterio de la raíz n-ésima”
Sea>0y

lim
→

(a) Si < 1 la serie converge.
(b) Si > 1 la serie diverge
(c) Si = 1 No es concluyente.

=

NOTA: La única forma de emplear este criterio es que la serie sea TOTALMENTE elevado a la nésima potencia. De lo contrario ni se le ocurra emplear este teorema. “Never”

SERIES ALTERNANTES
Teorema: “Criterio de las series alternantes”

Sea una serie alternante con
>
> 0. Si...