Severo Ochoa

1

Soluciones de la relación de ejercicios del TEMA 1
1. Indica a que conjunto o conjuntos pertenecen los siguientes números: √ √ √ √ π 9 4 √ 4 3 3 0, − , , 81, − 3, 2 − 7, 27, 2, , √ 4 3 5 3 256 Hay que tener en cuenta que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, por una lado y que I ⊂ R. De manera que si, por ejemplo, x ∈ N, entonces x también pertenece a Z, Q y R. √ √ 4 Se tiene que 81 = 9, 3 27 = 3, √256 = 1 ∈ N (ya Z, Q y R). 0, 4 √ √ √ − 9 = −3 ∈ Z (y a Q y R). 4 ∈ Q (y a R). − 3, 2 − 7, 3 2, π ∈ I 3 5 3 (y a R). 2. Simplifica las siguientes fracciones algebraícas: (a) (b)
x4 −125x 5x−x2

4x3 −3x−1 2x4 −3x3 −4x2 +3x+2

= −x2 − 5x − 25 =

2x+1 x2 −x−2

3. Opera simplificando el resultado: a) b) c) d) e)
5 3 − 5+ 5 = 33 10 3− 5 3 3 1 2 3 + xz − yz = − −z−2y+3x xy xyz 1 +1 x y 1 x+y

f) g) g) h)i)

=

x 1−x 5x +1 x−1

xy

1 3 2+ 1−x

x = − 6x−1

=

x−1 2x−5

4 7 11 − y−x = x−y x−y 2 2 2 x+y − 5−x = − 1 x +y −10 2 y−x 2 x−y 2 x+3 5 − 1−2x = 4x12x +5x+2 3 −2x2 +2x−1 2x2 +1 x2 +3x+2 1 x+4 − x(x+2)(x+5) = x(x+2)(x+5) x(x+2)2 (x+1) −1 −2 x−1 +y−1 1 · ( x y−3 )−1 = − x(x−y) x−2 −y−2 (xy)

4. Realiza las siguientes operaciones: a) (2 ) b)
3 −1

5 √ 1− 2

+2 2 = √ + 1+3√2 =−8 − 2 2

+

23 2−1

−1 3

161 8

c) d)

q

q

√5 2−1 xy2 x+y

q

q

3 √ 1+ 2

x2 y x−y

=

√ = 15 q

x3 y3 x2 −y2

5. Resuelve las siguientes ecuaciones: (a) (x + 1)2 − x = x2 + x − 4. No tiene solución

2 (b) 8x2 + 25 = (x + 5)2 . x = 0, x = 10 7 √ √ (c) x4 − 4 = 0. x = ± 2, x = ±i 2 p p √ √ (d) 2x4 + 6x2 − 1 = 0. x = ± 1 −6 + 2 11, x = ± 1 −6 − 2 11 2 2 √ (e)x3 − x2 − 3x + 3 = 0. x = 1, x = ± 3 x= 1 x= 3 4 2 √ (g) 2x − 5 = 1 + 2x. x = 9 2 (f) =
x 2 3 x−1 8x . 2x−1

(h) 2 |x − 3| +

= 5. x =

22 , 5

x=

2 3

6. Resuelve las siguientes inecuaciones: (a) 1 + 3x ≥ 6 − 3x ⇔ 6x ≥ 5 ⇔ x ≥ 5 . (x ∈ [ 5 , +∞[). 6 6
6−2x 5

(b)

(c) x2 + 6x − 1 ≤ 3x2 + 3x − 6 ⇔ −2x2 + 3x + 5 ≤ 0. Si resolvemos el polinomio −2x2 + 3x + 5 = 0, obtenemos lasraices x = −1 y x = 5 . Si las ponemos en la recta real y damos valores (por 2 ejemplo, x = −2, x = 0 y x = 3), se observa que dicho polinomio toma valores negativos o cero en los intervalos ]−∞, −1] y [ 5 , +∞[. 2 (d) 3x2 + 4 < x4 + 3x3 + 3x ⇔ −x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 4 < 0 ⇔ (x − 1)(x+4)(x2 +1) < 0. Las raices reales de (x−1)(x+4)(x2 +1) = 0 son x = 1 y x = −4. Si las ponemos en la recta real ydamos valores (por ejemplo, x = −5, x = 0 y x = 2), se observa que dicho polinomio toma valores negativos en los intervalos ]−∞, −4[ y ]1, +∞[. (e) En este ejercicio hay que tener en cuenta que si multiplicamos una desigualdad por un factor positivo la desigualdad no se ve afectada, pero si el factor es negativo, la desigualdad cambia. Para eliminar los denominadores, tendremos que multiplicar en uncaso por x2 + x (positivo para x ∈] − ∞, −1[∪]0, +∞[ y negativo para ] − 1, 0[) y, en otro, por x (positivo para x ∈]0, +∞[ y negativo para ] − ∞, 0[). Teniedo en cuenta esto hay que contemplar los siguientes casos: i. Si x > 0 (x > 0 y x2 + x > 0):
Ruffini

> 1−x ⇔ 10(6 − 2x) > 5(1 − x) ⇔ 60 − 20x > 5 − 5x ⇔ 10 −15x > −55 ⇔ x < 55 ⇔ x < 11 . (x ∈] − ∞, 11 [). 15 3 3

3
x2 +4x−2 x2 +x (x>0)>

2) ⇔ x2 + 4x − 2 > x3 + x2 − 2x − 2 ⇔ −x3 + 6x > 0 ⇔ 2 x(−x2 + 6) > 0. Si resolvemos el polinomio x(−x√+ 6) = 0, √ obtenemos las raices x = 0, x = − 6 y x = 6. Si las ponemos en la recta real y damos valores (por ejemplo, x = 1 y x = 3. No nos interesa lo que pasa para valores negativos de x), se observa √ dicho polinomio toma valores positivos que en el intervalo ]0, 6[. ii. Si −1 < x < 0(x < 0 y x2 + x < 0):
x2 +4x−2 x2 +x (x0 y x +x>0) ⇔ x

x(x2 + 4x − 2) > x(x + 1)(x2 −

>

iii. Si x < −1 (x < 0 y x2 + x > 0):
x2 +4x−2 x2 +x (x
2 x2 −2 (x0) ⇔ x

2 x2 −2 (x x3 + x2 − 2x − 2 ⇔ −x3 + 6x > 0 ⇔ x(−x2 + 6) > 0. Si resolvemos el polinomio x(−x2 √ 6) = + √ 0, obtenemos las raices x = 0, x = − 6 y x = 6. Si las ponemos en la recta real y damos valores (por ejemplo, x = −3 y...