señales y sistemas

INTRODUCCION

En este documento se describe como el proceso de convolucion aparece en forma natural cuando se trata de determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una excitación particular. Se analizan solamente los sistemas continuos pero este proceso tiene su contraparte para los sistemas discretos.
En este trabajo se introducen y discuten varias propiedadesbásicas de los sistemas. Dos de ellas la linealidad y la invariabilidad en el tiempo, son atributos muy importantes y juegan un papel fundamental en el análisis de señales y sistemas porque muchos procesos físicos poseen estas propiedades y por ello pueden ser modelados como sistemas lineales e invariantes en el tiempo (sistemas LIT) y porque esos sistemas LIT pueden ser analizados con bastantesdetalles. El objetivo primordial de este texto es desarrollar la compresión de las propiedades y herramientas para analizar señales y sistemas.









ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ENTRAD–SALIDA CON COEFICIENTE CONSTANTE
La respuesta de muchos sistemas físicos se puede describir mediante ecuaciones diferenciales. Como ejemplos de estos sistemas tenemos las redes eléctricas conresistencias, condensadores y bobinas ideales, y los sistemas mecánicos con pequeños resortes y amortiguadores. Consideremos un sistema en tiempo continuo descrito por la siguiente ecuación diferencial de entrada/salida.
(dᴺ y(t))/(dt ᴺ)+ ∑_(i=0)^(N-1)▒〖aᵢ (dᵢ y(t))/dtᵎ〗= ∑_(i=0)^M▒〖bᵢ (dᵎ x(t))/dtᵎ〗
Donde los coeficientes aᵢ, i = 1,2,…., N- 1 y bᵢ, j=1,2,…., M son constantes reales y N˃M. dado que lahipótesis acerca de un sistema físico implican tasas o razón de cambio de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis son ecuaciones donde intervienen derivadas.

MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SISTEMAS MECÁNICO A TRAVÉS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ENTRADA-SALIDA CON COEFICIENTES CONSTANTES
En un circuito eléctrico tenemos las variables voltajes, corriente ycarga, principalmente, las cuales se representan con v(t), i(t) y q(t), cuando el tiempo es t. las letras L,C y R son generalmente constantes, y se denomina inducida, capacitancia y resistencia, respectivamente. Según la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje E (t) a través de un circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el circuito.

En el circuito en serie simple que contiene uninductor, un resistor y un capacitador, témenos que aplicando la segunda ley de Kirchhoff, y como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitor mediante i= dq/dt, sumamos las caídas de voltaje.
L di/dt=L dq/dt iR=R dq/dt 1/C=q
E igualamos la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden
L d²q/dt²+R dq/dt+ 1/C q=E(t)

MODELOS DESISTEMAS MECÁNICOS
x (t)- fuerza aplicada
K - constante del muelle
D – constante de amortiguación
Y (t) – desplazamiento desde la posición de reposo

Equilibrio de fuerza:
M (d²y(t))/dt²=x (t)-Ky (t)-D (dy(t))/dt
↓
M (d²y(t))/dt²+D (dy (t))/dt+Ky(t)=x(t)

DISCRETIZACION EN TIEMPO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Se proporciona un método de Discretizacion de ecuaciones diferenciales queconsiste en combinaciones lineales paramétricas convexas de un conjunto de funciones de iteracio dado. Usamos este método para generar Discretizacion de ecuaciones diferenciales unimodales con función de iteración de un subconjunto de los métodos explícitos de runge – kutta con tamaño de paso fijo.
Mostramos de manera numérica que las Discretizacion obtenidas extienden de manera significativa elrango de validez de las soluciones.

SISTEMAS DEFINIDOS POR ECUACIONES NO LINEALES O VARIANTES EN EL TIEMPO
El análisis cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales, lineales o no lineales, es mucho más complicado que el de las ecuaciones. En esta lección consideraremos solamente sistemas autónomos de dos ecuaciones con dos incógnitas con el objetivo de introducirnos en las...