Si una funci n es continua en un punto

Si una función es continua en un punto, puede ser o no diferenciable en ese punto. Podemos escribir:

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CONTINUA no implica DIFERENCIABLE
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EJEMPLO. Lafunción f(x) = |x| es continua en x = 0, pero no es diferenciable en dicho punto.

Es continua en x = 0 porque:

Lim |x| = |0| = 0 = f(0)
x→0

No es diferenciable en x = 0 porque no existe la derivada f' (0)

. . . . . . . . . |0 + h| - |0|. . . . .. . .|h|
f ' (0) = Lim ————— = Lim ———
. . . . . .h→0 . . . h. . . . . .h→0. . h

Planteamos los límites laterales

. . . . .|h| . . . . . . . .hLim ——— Lim ——— = 1
h→0⁺. h. . .h→0⁺. . h

. . . . .|h| . . . . . . . -h
Lim ——— Lim ——— = -1
h→0⁻. h. . .h→0⁻. . h

Los límites laterales son distintos. Entonces el límite planteado no existe==> f ' (0) no existe ==> f no es diferenciable en x = 0

Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Podemos escribir:

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DIFERENCIABLE implicaCONTINUA
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Esta afirmación se demuestra con un teorema.
Teorema Diferenciabilidad implica continuidad
Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.
Prueba
Supongamos quef es diferenciable en el punto x = a. Entonces sabemos que
lim
h0
f(a+h) - f(a)

h
existe, e igual f'(a).
Por lo tanto,
lim
h0
f(a+h) - f(a)
=
lim
h0
f(a+h) - f(a)

h
. h
=
f'(a). 0 = 0.
    Límitedel producto = producto de los límites
Esto da
lim
h0
f(a+h)
=
lim
h0
[f(a+h) - f(a)] + f(a)
=
0 + f(a) = f(a).
    Límite de la suma = suma de los límites
Si tomamos x = a+h, entonces h = x-a, yel resultado anterior puede escribirse como
lim
x-a0
f(x)
=
f(a).
En otras palabras,
lim
xa
f(x)
=
f(a),
que significa que f es continua en x = a.

Condición suficiente de diferenciabilidad: Si ftiene derivadas parciales ∂f/∂x en un entorno de a y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a.-
.
Si f es diferenciable en un punto, es continua en dicho punto, pero no viceversa. Tomando...