Simulacion sistemas

METODOS MULTIPASOS
Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto. Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber, yi, yi-1,..., yi-m+1 para calcular yi+1. Por ejemplo, en un método de tres pasos para calcular yi+1 , se necesita conocer yi, yi-1, yi-2. Elprincipio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)). El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolante nos determina el grado del polinomio. Por ejemplo, si se consideran tres puntos previos, el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntosprevios, el polinomio es cúbico.

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METODOS DE ADAMS Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se pueden clasificar en dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los métodos de Adams-Moulton. Estos se pueden combinar para formar los métodos predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton.

La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar unpolinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos: ( ti,fi), (ti-1,f i-1),..., (t i-n+1,f i-n+1). La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos: (ti+1,fi+1) , (ti,fi),..., (ti-n +1,fi-n+1).

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Ejemplo1 Deducir el método de Adams-Bashforth de dos pasos para resolver la E.D.O. y' =f(t,y)

Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por los puntos: (t i, f i), (t i-1,fi - 1), donde f i-1= f(ti-1,y(ti-1)); fi = f(ti,y(ti)). El polinomio interpolante esta dado por: P(t) = ( (ti – t ) fi-1+ ( t - ti-1) fi ) / h, reemplazando este polinomio en la expresión (1):

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De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos: métodos de Adams-Bashforth de 2pasos: métodos de Adams-Bashforth de 3 pasos:

métodos de Adams-Bashforth de 4 pasos:
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Ejemplo 2. Deducir el método de Adams-Moulton de un paso para resolver la E.D.O. y' = f(t,y)
Sol: y' = f(t, y) 

t

 y'( t ) dt   f ( t , y( t )) dt t t
i i

i 1

t

i 1

t
yi+1 = yi +

 f ( t , y( t ))dt t
i

i 1

(1)

Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomiode interpolación que pasa por los puntos: (ti+1, fi+1), (ti,fi) , donde fi = f(ti,y(ti)); fi+1 = f(ti+1, y(ti+1)). El polinomio interpolante esta dado por:P(t) = ( (ti+1 – t ) fi+ ( t – ti) fi+1 ) / h, reemplazando este polinomio en la expresión (1):

yi+1  yi +  P(t)dt
ti

ti+1

h yi+1  yi + (fi+1+ fi ) 2

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De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos: métodos de Adams-Moulton de 2pasos: yi+1=yi+ h (5 fi+1 + 8 fi - fi-1 )/ 12 métodos de Adams-Moulton de 3 pasos: yi+1=yi + h (9 fi+1 + 19 fi - 5fi-1 + fi-2) /24 NOTA. Los métodos de A-B de n pasos son de orden n Los métodos de A-M de n pasos son de orden (n+1)

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METODOS PREDICTOR-CORRECTOR En la práctica los métodos multipaso implícitos (por ejemplo:el método de A-M) , no se puede usar directamente. Estos métodossirven para mejorar las aproximaciones obtenidas con los métodos explícitos. La combinación de un método explícito con un método implícito del mismo orden se denomina un método predictor-corrector.

Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton
* i1

La fórmula predictora es la de Adams-Bashforth: y

= yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,
*

La fórmulacorrectora es la de Adams-Moulton: yi+1= yi+ h (9 f i1 +19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24; donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1); fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f
* i1

*

= f (ti+1 , y i1 ) ;

Observación Para usar la fórmula predictora se requiere que se conozcan los valores y0, y1, y2, y3, para obtener y4. Sabemos que y0 es la condición inicial dada y como el método de...