Simulacion

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PROBLEMA Nº 01

Considerar un semicírculo de radio 10 centímetros con un centro en el origen de un sistema coordenado XY. Circunscribirle un triángulo rectángulo e inscribirle un rectángulo, como se muestra en la figura adjunta:

[pic]


1. Usar 1000 pares de números seudoaleatorios para simular 1000 puntos seudoaleatorios de modo que todos ellos pertenezcan al triángulo (expreseclaramente los simuladores de los puntos). Use esta muestra de 1000 puntos para estimar:

a) La probabilidad de que en un punto pertenezca también al semicírculo.

b) La probabilidad de que en un punto pertenezca también al rectángulo.

c) La probabilidad de que en un punto pertenezca al rectángulo si pertenece al círculo.

En cada uno de los casos comparar los valores estimados por simulación conaquellos que se pueden obtener analíticamente.

2. Hallar la distribución de probabilidad de los puntos simulados en el ítem 1 que pertenecen:

a) Al triángulo.

b) Sólo al semicírculo.

c) Sólo al rectángulo.












I- Analizando la figura:

[pic]


Triángulo:

- La base de triángulo es [pic]
- La altura de triángulo es [pic]
- El dominio para eleje ‘x’ es [[pic],[pic]].
- El rango para el eje ‘y’ es [0,[pic]].
Ya que:


Para el lado positivo x es [0,[pic]]
[pic]


Para el lado negativo x es [[pic],0]:


[pic]


Fórmula general:


[pic]


Área:
[pic]






Semicírculo:

- Una circunferencia de 10 cm. de radio.
- El dominio para el eje ‘x’ es[-10,+10].
- El rango para el eje ‘y’ es [0,[pic]].
Ya que:
[pic]


Área:
[pic]



Rectángulo:
- La base de rectángulo es [pic]
- La altura de rectángulo es [pic]
- El dominio para el eje ‘x’ es [[pic],[pic]].
- El rango para el eje ‘y’ es [0,[pic]].

Área:


[pic]



II- Fórmula para hallar el valor de X
La fórmula[pic], genera números seudoaleatorios entre [0,1], y lo relacionamos con el eje x de la semicircunferencia tenemos:




[pic]




Entonces la fórmula:
[pic]

III- Fórmula para hallar el valor de Y

Una vez que se ha generado el valor de x, se tiene que calcular el valor de y, para esto se tiene que x puede tomar valores en el siguiente rango:








Que se asemejaal siguiente rango unitario:






x es el valor elegido en el apartado II.


Entonces la fórmula:
[pic]

IV- Elección de los generadores:
|  |Para la coordenada X |Para la coordenada Y |
|Multiplicador |16823 |16821 |
|Incremento |21|21 |
|Módulo |81919 |81901 |
|Semilla |13 |13 |





Previamente validadas (anexos)

Los módulos utilizados en ambos generadores son números primos más cercanos a [pic].

Generador para la coordenada X: [pic]Generador para la coordenada Y: [pic]

V- Los resultados de aplicar los pasos anteriores son (solo los 50 primeros y los 50 últimos, ya que son 1000 puntos):

|n |Coordenadas |Coordenadas |
| |X |Y |
| 1 |4.80704 |6.25660 |
|2 |4.08024 |8.40078 |
|3|-4.00152 |0.29183 |
|4 |-1.00733 |1.12807 |
|5 |-4.00532 |6.67004 |
|6 |-8.33226 |1.43748 |
|7 |3.29302 |9.36589 |
|8 |-10.33656 |1.28171 |
|9 |-0.18282 |3.63381 |
|10...
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