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Ecuación diferencial ordinaria

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variableindependiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de lasecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se hadedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
Contenido  [ocultar]  * 1 Introducción * 2 Definiciones * 2.1 Ecuacióndiferencial ordinaria * 2.2 Soluciones * 3 Tipos de EDOs y forma de resolución * 3.1 Existencia y unicidad de soluciones * 3.2 Soluciones analíticas * 3.3 Soluciones numéricas * 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden * 4.1 Ecuación de variables separables * 4.2 Ecuación exacta * 4.3 EDO de primer orden y homogénea * 4.4 Ecuación lineal* 4.5 Ecuación de Bernoulli * 4.6 Ecuación de Riccati * 4.7 Ecuación de Lagrange * 4.8 Ecuación de Clairaut * 5 Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden * 5.1 Ecuación lineal con coeficientes constantes * 5.2 Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy * 5.3 Ecuaciones de Bessel * 5.4 Ecuación de Legendre * 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias deorden superior * 6.1 Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes * 7 Véase también * 8 Referencias * 9 Bibliografía * 10 Enlaces externos |
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[editar]Introducción
Si F es una relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
(1a)
La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
(1b)Donde los  representan funciones dependientes de t.
Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo  que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.
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[editar]Definiciones
[editar]Ecuación diferencial ordinaria
Si y es una función desconocida:de x siendo  la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)
es llamada una ecuación diferencial ordinara (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en laforma

es llamada una ecuación diferencial explícita.
Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 laecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
[editar]Soluciones
Dada una ecuación diferencial

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

Una solución que no tiene extensión es llamada...
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