Sistema de ecuaciones lineales

Páginas: 5 (1044 palabras) Publicado: 23 de mayo de 2011
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En cursos anteriores se vieron sistemas de ecuaciones lineales expresados en forma explícita como el siguiente:

[pic] forma explícita

El sistema S es de p ecuaciones y q incógnitas. Expresado en forma matricial será:
( por igualdad y producto de matrices)

[pic] forma matricial

S : A . X = B con [pic]Resolver el sistema S es ver si existe X [pic] / A . X = B
Si escribimos la matriz A como una matriz fila en donde cada columna es un vector columna, el sistema resulta:
[pic]
Operando:

[pic] forma vectorial

o también: [pic]

En donde A : matriz de los coeficientes
X : matriz de las incógnitas
B :matriz de los términos independientes
[pic] : matriz ampliada

Volviendo a la ecuación matricial de S : A . X = B
Nos preguntamos: ¿Existe X : X [pic] ?
Si la respuesta es si entonces el sistema admite solución y el sistema resulta compatible, caso contrario no admite solución y será incompatible.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

[pic] es solución de A . X = B[pic]

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Determinados ( solución única ) S.C.Det.
Compatibles
( con solución )
Indeterminados ( más de una solución ) S.C.Indet.

Incompatibles
( sin solución )

CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD PARA LOS S.E.L.
TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS O DE KRONECKER

Un sistemade ecuaciones lineales es compatible si y sólo si la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tienen el mismo rango.

Siendo S : A . X = B con [pic]
S : A . X = B es compatible [pic]

D)
[pic] [pic] S es compatible.

Corolario:

1) Si el rango de ambas matrices es igual al número de incógnitas entonces el sistema escompatible determinado.
[pic] S es compatible determinado

D)
[pic] [pic]es linealmente independiente [pic] [pic] ( por T. anterior ) siendo los escalares únicos por que el conjunto es l. indep. [pic] [pic] S es comp. determinado siendo
[pic] única solución

Nota: el conjunto de los vectores columna de A constituyen una base del espacio columna de A.2) Si el rango de ambas matrices es igual a ( r ) pero menor al número de incógnitas ( q ) entonces el sistema es compatible indeterminado.
[pic] S es compatible indeterminado

D)
[pic] [pic] es base del espacio columna de A [pic] se pueden expresar como combinación lineal de dicha base.
Recordando que el sistema S es:
[pic]

variables principales odependientes variables secundarias, libres o independientes

Entonces a partir de éste sistema S de “ p “ ecuaciones con “ q “ incógnitas se obtiene, dando valores particulares a las variables libres, el sistema S ’:
S ‘ : [pic] = B’
y entonces por 1) resulta que S ‘ es compatible determinado
( rg ( A ) = rg [pic] ). Es decir que para cada asignación que se haga a lasvariables libres se obtiene una solución distinta para las variables principales, por lo tanto el sistema S es compatible indeterminado.

Negación del Teorema de Rouche Frobenius:

Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si y sólo si la matriz de coeficientes y la ampliada poseen distinto rango
[pic]es incompatible

SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES

Dados lossistemas:
[pic]
Se dice que S es equivalente a S‘ si y sólo si ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA EQUIVALENCIA DE SISTEMAS

La solución de un sistema no varía si se le aplican operaciones elementales a las ecuaciones del sistema dado, esto es equivalente a aplicar operaciones elementales sobre las filas a la matriz de coeficientes ampliada con los...
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