Sistema de ecuaciones nolineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

Sistemas de ecuaciones no lineales
Curso 2010-11

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

´ Indice

1

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo del punto fijo e M´todo Iterativo de Gauss-Seidel e M´todo de Newton e

2

3

Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones nolineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

La presi´n p para hundir una placa circular de radio r a una o distancia d en un terreno blando, donde el terreno de base s´lida se o halla a una distancia D > d debajo de la superficie, puede aproximarse por una ecuaci´n de la forma: o p = k1 ek2 r + k3 r donde k1 , k2 y k3 son constantes que dependen de d y de la consistencia delsuelo, pero no del radio de la placa. Si queremos determinar el tama˜o m´ n ınimo de la placa necesario para sostener una gran carga, metemos tres placas peque˜as con n radios distintos a la misma distancia. Esto genera tres ecuaciones no lineales con tres inc´gnitas k1 , k2 y k3 : o p1 = k1 ek2 r1 + k3 r1 p2 = k1 ek2 r2 + k3 r2 p3 = k1 ek2 r3 + k3 r3
Pilar Vicente Sistemas de ecuaciones nolineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

Calcular la intersecci´n de las curvas del plano cuyas ecuaciones o son: x2 − 2x − y = −0, 5 x2 + 4y 2 = 4 es equivalente a resolver el sistema de estas dos ecuaciones no lineales con dos inc´gnitas. o

Figura: Intersecci´n de dos curvas. o
Pilar Vicente Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos eM´todo de Newton e

Definici´n o Una funci´n vectorial F es una aplicaci´n F : Rn −→ Rm o o
(x1 , x2 , ...., xn ) −→ (f1 (x1 , x2 , ...., xn ), f2 (x1 , x2 , ...., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ...., xn ))

Las funciones fi : Rn −→ R se llaman funciones coordenadas de F . Definici´n o f : Rn −→ R es continua en x0 ∈ Rn
x→x0

⇐⇒

l´ f (x) = f (x0 ) ⇐⇒ ım

∀ > 0, ∃δ > 0 tal que si ||x − x0 || < δ⇒ |f (x) − f (x0 )| <

Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

Teorema F = (f1 , ..., fm ) : Rn −→ Rm es continua en x0 ⇔ fi : Rn −→ R es continua en x0 i = 1, 2, ..., m.

Teorema Sea f : D ⊆ Rn −→ R y x0 ∈ D. Si existen constantes ∂f (x) | ≤ K siempre que x − x0 < δ δ > 0, K > 0 con | ∂xj entonces f es continua en x0 .Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

Planteamiento general

Calcular de forma aproximada una soluci´n de un sistema de n o ecuaciones no lineales con n inc´gnitas. o  f1 (x1 , x2 , ..., xn ) = 0    f2 (x1 , x2 , ..., xn ) = 0  . .  .    fn (x1 , x2 , ..., xn ) = 0 fi : Rn −→ R (x1 , x2 , ..., xn ) −→ fi (x1 ,x2 , ..., xn )

Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

M´todo del punto fijo e M´todo Iterativo de Gauss-Seidel e

Punto Fijo

Definici´n o G : D ⊆ Rn −→ Rn tiene un punto fijo en p ∈ D si y s´lo si o G(p) = p. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales va a ser equivalente a encontrar los puntos fijos de una funci´nvectorial. o

Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

M´todo del punto fijo e M´todo Iterativo de Gauss-Seidel e

Ejemplo
x2 − 2x − y x2 + 4y 2 = =  −0.5  4  x = ⇐⇒ y =
x2 −y+0.5 2 x2 +4y 2 −4+8y 8

= =

 g1 (x, y)    g2 (x, y) 

⇐⇒

(x, y) = G(x, y) = (g1 (x, y), g2 (x, y)) Resolver el sistema esequivalente a encontrar los puntos fijos de la funci´n vectorial: o G: R2 −→ (x, y) −→ R2 (g1 (x, y), g2 (x, y))

Pilar Vicente

Sistemas de ecuaciones no lineales

Introducci´n o M´todos iterativos e M´todo de Newton e

M´todo del punto fijo e M´todo Iterativo de Gauss-Seidel e

Teorema
Sea la funci´n vectorial G : D −→ D donde D = [a1 , b1 ]... × [an , bn ] y o G = (g1 , ..., gn ) con gi...