Sistema de ecuaciones

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Sistema lineal de ecuaciones

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
o Sistemacompatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
[pic]
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planoso rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
[pic]

Sistemas compatiblesindeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
[pic]
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es [pic]y que pasa por el punto [pic], por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema

es compatible por haber solución ointersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Unacondición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
[pic]
• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con lamultiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
[pic]
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambasecuaciones.
Matemáticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:
[pic]

Métodos de resolución

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita,preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicandoeste método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
[pic]
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita [pic]por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
[pic]
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita [pic]en la otra...
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