Sistema de ecuaciones

UNIDAD I
SISTEMA DE NÚMEROS REALES

El sistema de los números reales, comprende el estudio de los axiomas y teoremas y su aplicación en la solución de ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto.

I. AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES:
El sistema de los números reales es el conjunto de los números reales (IR) con las operaciones deadición (+) y multiplicación (.) y una relación de orden “ < “.

2. AXIOMAS
a. AXIOMAS DE IGUALDAD:
← a, b, c y d ( R , se cumplen los axiomas siguientes:
1) AXIOMA DE REFLEXIVIDAD:
Todo número real es igual a sí mismo: a = a

2) AXIOMA DE SIMETRÍA:
Si un número es igual a otro,entonces el segundo es igual al primero: Si a = b ( b = a

3) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD:
Si un número es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero:
Si a = b ( b = c ( a = c

4) AXIOMA DE ADICIÓN DE LA IGUALDAD:
Si a = b ( c = d ( a + c = b + d5) AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN DE LA IGUALDAD:
Si a = b ( c = d ( a c = b d

6) PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:
Todo número real puede ser reemplazado por su equivalente.

b. AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:
El sistema de los números reales seconstruye a partir de los axiomas de la adición y multiplicación.
Si a, b y c ( R se cumplen los siguientes axiomas:

|PARA LA ADICIÓN |PARA LA MULTIPLICACIÓN |
|AXIOMAS DE CLAUSURA: |( a.b ) ( IR|
| ( a + b ) ( IR | |
|AXIOMAS DE CONMUTATIVIDAD |a.b = b.a |
| a + b = b + a | ||AXIOMAS DE ASOCIATIVIDAD |( a.b ).c = a. (b.c ) = a.b.c |
| ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c | |
|AXIOMAS DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO: |a.1 = 1.a = a |
|a + 0 = 0 + a = a | |

|AXIOMAS DE INVERSOS |a . a- 1 = a-1. a = 1 |
| a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0 | |
|AXIOMASDE DISTRIBUTIVIDAD |( b + c ).a = b.a + c.a |
| a ( b + c ) = a.b + a.c | |

c. AXIOMAS DE ORDEN
( a, b y c ( R se cumplen los siguientes axiomas:

1. AXIOMA DE TRICOTOMÍA:Dados a y b ( R una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
a < b ; a = b ; a > b

2. AXIOMA DE TRANSITIVIDAD:
Si : a < b ( b < c ( a < c

3. AXIOMAS DE MONOTONIA:
• CONSISTENCIA ADITIVA:
Si : a < b ( c ( R ( a + c < b + c...