sistema de ecuaciones

. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primerasque nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouché-Frobenius, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método deGauss como otra alternativa de resolución.
 
Definición.
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero,estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.
Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.
Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuacioneslineales podemos clasificarlos en tres tipos:
Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tressituaciones, es decir, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos encontrar un sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones.
 
Teóricamente, es muy cómodo utilizar la notación matricial para un sistema. Así, todo sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito matricialmente de la forma:

Si notamos por A a la matriz de coeficientes, x al vector deincógnitas y b al vector de términos independientes el sistema quedaría:
A x = b
 
Hay ocasiones en las cuales sólo interesa saber si el sistema posee o no solución, y en caso de poseer, si es única o no.
 
Teorema (Rouché-Frobenius)
Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A x = b, y llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|b). Entonces:
Si Rango(A) < Rango(A*), el sistemaresulta incompatible.
Si Rango(A) = Rango(A*) = n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible determinado.
Si Rango(A) = Rango(A*) < n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible indeterminado.
 
Para la resolución de los sistemas lineales existen varios métodos, si bien resaltaremos dos. Cuando el sistema sea compatible determinado, esto es, el determinante de la matriz de coeficientessea distinto de cero, siempre podemos “despejar” del sistema de la forma:
x = A-1 b
Hacemos hincapié que este método sólo es posible aplicarlo en el caso que exista la inversa de A, es decir, para sistemas compatibles determinados.
En segundo lugar, podemos utilizar la regla de Cramer, válida para cualquier sistema compatible, la cual mostramos en el siguiente ejemplo.
 
Ejemplo
 
Discutir yresolver el sistema:
 

 
Solución:
 
Para discutir un sistema de ecuaciones lineales, determinamos los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché.
 
Puesto que det(A) = -64, podemos afirmar que el rango de A es 3 y la matriz ampliada, al no poder superar este rango, también resulta de rango 3. Como coincide con el número de incógnitas, el...