Sistema de ecuaciones

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre uncuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

[pic]

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1,x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como enprocesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico

1 Expresiónmatricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:

[pic]

donde A es la matriz de loscoeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

[pic]

SISTEMAS HOMOGENEOS Y NO HOMOGENEOSSistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

Lacondición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho deotra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

1 Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además...
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