Sistema de los numeros reales

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CAPITULO III SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Sistema de los números reales

Carlos García Cortegano

¿CUAL

DE

LOS

CONJUNTOS

NUMERICOS ES EL MAS EXTENSO?

“LOS NUMEROS RIGEN EL UNIVERSO” LEMA DE LOS PITAGORICOS • • • • • • • • • • • ¿Qué representa la recta numérica? ¿Cuáles son las propiedades de los números reales? ¿La relación de orden que propiedad tienen? ¿Cómo se aplicanlas propiedades en las operaciones con los números reales? ¿Qué expresan la relación “mayor “ o “menor”? ¿Cuáles son las reglas de los signos con respecto a las desigualdades? ¿Los intervalos representan desigualdades? ¿Qué tipos de intervalos existen? ¿Cómo se operan los intervalos? ¿Cómo se define el valor absoluto de un número? ¿Qué propiedades del valor absoluto se aplican en la solución delas ecuaciones e inecuaciones?

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Matemática 1

COMPETENCIAS A LOGRAR
CONCEPTUAL • Aplicar propiedades referentes • Resuelve e intervalos. • Aplica flexibilidad propiedades referentes al valor absoluto y máximo entero • con las • a las operaciones en R. ejercicios sobre desigualdades PROCEDIMENTAL • Diferencia un sistema numérico de otro y explica las propiedades de cada una Relaciona condesigualdades. Explica el concepto de valor absoluto y máximo entero y sus propiedades referentes a ellas de las el las operaciones en R. concepto de intervalo ACTITUDINAL • Demuestra confianza al resolver ejercicios sobre desigualdades intervalos entero , valor absoluto y máximo

CONCEPTOS –CLAVE. Recta numérica. Reglas algebraicas. Desigualdades, intervalos, valor absoluto y máximo entero.

3 Sistema de los números reales

Carlos García Cortegano

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
3.1. SISTEMAS DE LOS NUMEROS REALES. El sistema de números reales es el conjunto de los números reales con sus propiedades. Está formado por los llamados números naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. La característica, quizá la más importante, es poder representar cualquier número real sobreuna recta y a su vez, saber que cada punto de una recta puede ser designado por un número real. A esta correspondencia se le llama “RELACIÓN BIUNÍVOCA” porque para cada número real hay un punto en la recta y para cada punto en la recta hay un número real. Existen dos formas de definir el sistemas de los números reales: Usando las cortaduras de Dedekind que sugiere un conocimiento previo de losnúmeros racionales; la otra el Método Axiomático, que nos proporciona una teoría breve y adecuada, del sistema de números reales. 3.2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA. El conjunto de los números reales , denotado por R , es un conjunto de elementos en el cual están definidas dos operaciones , una llamada adición ( + ) y otra llamada multiplicación ( . ) , y en la cual hay una relación de orden ( < ) , tal quesatisfacen los siguientes axiomas. I. AXIOMAS DE ADICIÓN.
A1 . ∀a,b ∈ R ; a + b ∈ R A 2 . ∀a,b ∈ R ; a + b = b + a A 3 . ∀a,b,c ∈ R; a + (b + c) = (a + b) + c (Clausura o cerradura) (Conmutativa) (Asociativa)

A 4 . Existe un elemento real denotado por 0, llamado elemento neutro aditivo,tal que: a + 0 = 0 + a = a,∀ a ∈ R. A 5 . Para todo a ∈ R , ∃ un único elemento ( − a) ∈ R, llamado inversoaditivo tal que : a + ( − a) = ( − a) + a = 0

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Matemática 1

II.

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN

M1 . M2 . M3 . M4 . M5 .

∀a,b ∈ R; a.b ∈ R ∀a,b ∈ R; a.b = b.a ∀a,b,c ∈ R; a.(b.c) = (a.b).c

(Clausura ) (Conmutativa) (Asociativa)

Existe un único elemento real ,denotado por 1, llamado neutro multiplicativo, tal que: a.1 = 1.a = a,∀a ∈ R ∀ a ≠ 0 existe un único elemento de R,denotado por a −1 ,tal que: a.a −1 = a.a = 1; este elemento multiplicativo. es llamado inverso

Nota: AXIOMA. Es una verdad que se supone cierta.
III. AXIOMAS DISTRIBUTIVOS.

D1. a.(b + c) = a.b = a.c; ∀ a,b,c ∈ R D2 . a + b).c = a.c = b.c; ∀ a,b,c ∈R
IV. AXIOMAS DE ORDEN.
ab ⇔ b< a

a < 0.

3) La relación “ Mayor que ” , denotado por > , se define como : 4) La relación “Menor ó Igual que...
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