sistema de los números complejos

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS: C



1. DEFINICION. Denominamos SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS: C, al conjunto de números de la forma: z = x + yi, donde x é y son reales é i = .
COMENTARIOS:
a.. En la definición del número complejo z, a los números reales x é y, se les conoce con los siguientes nombres:
x: parte real del complejo z. Se le simboliza como x= Re(z)
y: parte imaginaria del complejo z. Se le simboliza como: y = Im(z).
b. Cuando se tiene x = 0, é , z se conoce como complejo puro ó imaginario puro.
c. Cuando se tiene , é y = 0, z se conoce como real puro. Esta definición nos indica que el conjunto de los números reales R queda contenido en el conjunto de los complejos C
d. Cuando se tiene: x = y = 0, se dice que z representael cero complejo. Este complejo es el elemento neutro aditivo del conjunto C.
e. A la definición dada se le conoce con el nombre de NUMERO COMPLEJO EN SU FORMA RECTANGULAR, debido a la representación gráfica que hacemos del número z en el sistema de ejes coordenados.

2. DEFINICION. IGUALDAD DE DOS NUMEROS COMPLEJOS .
Dados los complejos: z1 = x1 + y1i , y, z2 = x2 + y2i, decimosque: z1 = z2 s.s.s.
x1 = x2 , é, y1 = y2

OPERACIONES CON COMPLEJOS

3. DEFINICION: SUMA DE COMPLEJOS.
Dados los complejos: z1 = x1 + y1i , y, z2 = x2 + y2i.
Definimos la suma de complejos como:
z = z1 + z2 = ( x1 + y1i ) + ( x2 + y2i ) = ( x1 + x2 ) + (y1 + y2)i.

4. DEFINICION: PRODUCTO DE UN REAL: r POR EL COMPLEJO: z
Dados el número real:r, y el número complejo z = x + yi , definimos rz como:
rz = r( x + yi) = rx +ryi .
CONSECUENCIA:
-Z = -( x + yi) = -x – yi ( INVERSO ADITIVO del complejo z)

5. DEFINICION: PRODUCTO DE COMPLEJOS EN SU FORMA RECTANGULAR.
Dados los complejos: z1 = x1 + y1i , y, z2 = x2 + y2i.
Definimos el producto de complejos como el producto simple de dosbinomios:
z = z1.z2 = (x1 + y1i )( x2 + y2i) = x1 x2 + x1 y2i + x2y1i + y1y2i2 . Pero: i2 = -1
z = (x1x2 – y1y2) + (x1y2 + x2y1)i.
NOTA: Cuando trabaje con el producto de complejos es preferible que trabaje con la unidad compleja: i, y no confunda la operación como si se tratase del producto de reales. Así: Si efectuamos el producto de los complejos puros como si fuesen reales ,tendríamos:Lo cual constituye un error, pues la forma correcta es efectuar la operación como complejos:

6. DEFINICION. CONJUGADO DEL COMPLEJO z :
Dado el complejo z: z = x + yi, definimos el conjugado: de z, como:
.
TEOREMA 1. Si z = x + yi, entonces:
a = Re(z) =
b = Im(z) =
Demostración:
Sug. Tenga en cuenta las definiciones de z y .Sume y reste m.a.m. respectivamente
TEOREMA 2. Si z = x + yi , entonces: z. = x2 + y2 = ((Re(z))2 + (Im(z))2
Demostración:
Sug. Tenga en cuenta las definiciones de z y , y el valor de i2 = -1. Efectúe el producto: z , y simplifique.

7. DEFINICION: INVERSO MULTIPLICATIVO DEL COMPLEJO z: z-1
Dado el complejo z = x + yi , no nulo, definimos el inverso multiplicativoz-1 de z como: .

8. DEFINICION: DIVISION DE COMPLEJOS DADOS EN SU FORMA RECTANGULAR.
Dados los complejos: z1 = x1 + y1i , y, z2 = x2 + y2i , donde z2 es un complejo no nulo, definimos el cociente del complejo z1 entre z2 como:


9 POTENCIACION DE COMPLEJOS EN SU FORMA RECTANGULAR
Para efectuar la potenciación de números complejos, se requiere del conocimiento de laspotencias de i.
POTENCIAS DE i:
i = = i5 = i9 = i13 ……….. ……. = i
i2 = -1 = i6 = i10 = i14 ……………… = -1
i3 = -i = i7 = i11 = i15 ………………. = -i
i4 = +1 = i8 = i12 = i16 ……………… = +1. En general :
i4n = (i4)n = (1)n = 1.Donde: n....