Sistema De Suspensión Magnetica

Universidad Aut´noma de San Luis Potos´ o ı Facultad de Ingenier´ ıa Centro de Investigaci´n y Estudios de Posgrado o

Maestr´ en Ingenier´ El´ctrica ıa ıa e

Tarea Final Control No Lineal Dr. Juan Segundo

Jos´ Luis Mart´ e ınez Avalos

18 de mayo de 2012

Sistema de Suspensi´n Magn´tica o e

1.

Planteamiento del problema
x1 = x 2 ˙ x2 = g − ˙

El sistema de suspensi´nmagn´tica est´ modelado por: o e a
L0 ax2 3 2m(a+x1 )2 3 −Rx3 + L0 ax2 x2 (a+x1 )

k x m 2

−

1 x3 = L(x1 ) ˙ y = x1

+u

(1)

donde x1 = y, x2 = y, x3 = i y u = v. Use los siguientes datos num´ricos: m = 0,1 kg, ˙ e k = 0,001 N/m/sec, g = 9,81 m/sec2 , a = 0,05 m, L0 = 0,01 H, L1 = 0,02 H y R = 1 Ω. Adem´s L(x1 ) = L1 + a
L0 1+x1 /a

2.

Ejercicios a realizar

1. Encontrar el gradorelativo del sistema 2. Identificar si el sistema es linealizable entrada/salida o linealizable completamente. Obtenga el difeomorfismo y diga si es global y bajo que restricciones 3. Verificar si existe una entrada que linealice completamente el sistema v´ retroaliıa mentaci´n, si es as´ encuentre la salida utilizando la definici´n de grado relativo y o ı, o encuentre su forma normal 4. Considerarun problema de regulaci´n y obtenga la ley de control estabilizante en o el punto deseado. Tome en cuenta el difeomorfismo del inciso 3. Verificar que el sistema sea de fase m´ ınima 5. Evaluar el desempe˜o con el controlador de ganancia programada n 6. Considerar el problema de seguimiento a una referencia variante en el tiempo r(t) y encontrar la ley de control que hace que el error sea cero.3.

Soluci´n o

Tomando en cuenta,     x2 f1 L0 ax2 k 3   f (x) = f2  =  g − m x2 − 2m(a+x1 )2  ; 1 3 f3 −Rx3 + L0 ax2 x2 L(x1 ) (a+x1 ) 1

    0 g1 g(x) = g2  =  0  ; 1 g3 L(x1 )

h(x) = x1 (2)

Sistema de Suspensi´n Magn´tica o e

Dado que la salida del sistema es la posici´n de la pelota (x1 ), entonces: o y = x1 y = x1 = x2 ˙ ˙ k y = x2 = g − m x 2 − ¨ ˙ ... k y= − m − f (x)x3 ˙

L0 ax2 3 2m(a+x1 )2

(3)

Se observa que en la tercera derivada de y se encuentra x3 la cual contiene a u, por lo ˙ tanto el grado relativo del sistema 1 es de n, es decir ρ = 3, lo que tambi´n implica que e el sistema es de fase m´ ınima y el difeomorfismo esta dado por   (4)

    z = T (x) =     n−1 Lf h(x) Calculando: ∂h(x) f (x) = [1 0 0]f (x) = f1 ∂x ∂Lfh(x f (x) = [0 1 0]f (x) = f2 ∂x

h(x) Lf h(x) . . .

Lf h(x) = L2 h(x) = f Por lo tanto el difeomorfismo es

   x1 z1     x2 z = T (x) =   = z2 L0 ax2 k z3 g − m x2 − 2m(a+x31 )2 Para que el difeomorfismo sea global se debe cumplir que entonces:   1 0 0 ∂T (x)  1 0 = 0 ∂x T1 −k/m T2 donde, T1 = L0 ax2 3 m(a + x1 )3 y T2 = − L0 ax3 (a + x1 )2
∂T (x) ∂x



(5)

sea derango completo,

Para que no se pierda el rango T2 = 0, es decir, x3 = 0 y x1 = −a Para verificar si el sistema es linealizable por retroalimentaci´n, se debe cumplir o 2

Sistema de Suspensi´n Magn´tica o e

n−1 G(x) = g(x), adf g(x), ..., adf = no singular

(6)

adf g(x) = [f, g] = 

∂g f ∂x

−

∂f g ∂x

   0 1 0 0 0 f1 adf g(x) =  0 0 0 f2  − ∗ ∗ α1 0 0 f3 ∗ ∗ donde α1= Por lo tanto:    adf g(x) =    0
∂f − ∂x2 g3 3

  g1 ∂f2    g2 ∂x3 ∂f3 g3 ∂x3 0

(7)

∂g3 , ∂x1

∂f2 L0 ax3 =− , ∂x3 m(a + x1 )2

1 L0 ax2 ∂f3 = −R + ∂x3 L(x1 ) (a + x1 )2

      (8)

α1 f1 −

∂f3 g ∂x3 3

ad2 g(x) = [f, adf g(x)] = f 

∂adf g(x) f ∂x

−

∂f adf g(x) ∂x

   0 1 0 0 0 f1 2 ∗ 0 ∗ f2  − ∗ ∗ adf g(x) = ∗ ∗ 0 f3 ∗ ∗ Por lo tanto0  G(x) =  0  0
∂f − ∂x2 3 ∗

  g1 ∂f2    g2 ∂x3 ∂f3 g3 ∂x3 0

(9)

1 L(x1 )

 ∂f − ∂x2 3  ∗  ∗

(10)

para que G(x) sea de rango completo el determinante debe ser diferente de 0, det(G(x)) =
3 −g3

∂f2 ∂x3

2

=

3 −g3

L0 ax3 m(a + x1 )2

2

=0

Entonces el sistema es linealizable por retroalimentaci´n. o

3

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