Sistema libre y forzado matematica aplicada

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN



Matemática Aplicada

Profesor: Autor:Sección: “F”


Maturín, Diciembre 2010
1) Sistemas libres y forzados
Hay dos clases generales de vibraciones, libres y forzadas. La vibración libre es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al mismo y, cuando las fuerzas externamente aplicadas son inexistentes. El sistema bajo vibración libre vibrara a una omás de sus frecuencias naturales que, son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez.
Un sistema mecánico se dice que posee un grado de libertad cuando su configuración geométrica puede ser expresada en cualquier instante en función de una sola variable. Entonces, se necesitarán tantas variables como grados de libertad tenga un sistema para poder definirlo.El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad, es el masa-resorte-amortiguador identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ, cEQ y kEQ, que se ilustra en la figura.

Las vibraciones que tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia deexcitación, si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.
El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ, cEQ, kEQ y la fuerza F(t), el cual se ilustra enla siguiente figura:

Luego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento está representada por:

Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza periódica o cuando está unido elásticamente a un soporte que tieneun movimiento alternativo un ejemplo:
Consideremos el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte. La vibración obtenida en este sistema consiste en dos vibraciones superpuestas. Una es una vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es llamada frecuencia natural del sistema. Esta vibración libre es llamada también vibración transitoria ya que enrealidad será amortiguada rápidamente por las fuerzas de rozamiento. La otra vibración superpuesta es la vibración del estado estacionario producido y mantenido por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado por el soporte. Esta frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o movimiento y, su amplitud xm, depende de la razón de frecuencia ð/p. La razón de amplitud xm de lavibración de estado estacionario a la deformación estática Pm/k causada por una fuerza Pm, o a la amplitud δm del movimiento de soporte se llama factor de amplificación.
Factor de amplificación = xm/(Pm/k) = xm/δm = 1/(1-(ð/p)2
Cuando ð = p, la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. La fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte se dice que está en resonancia con el sistemadado. La resonancia se define como un fenómeno que presenta un sistema físico influido por una fuerza de excitación periódica externa, en la que la amplitud resultante de la oscilación del sistema resulta grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de un sistema.
En realidad, la amplitud de vibración permanece finita a causa de...