Sistema renal

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Oscilaciones Forzadas
• Las oscilaciones forzadas se producen cuando se aplican fuerzas exteriores
sobre un sistema vibratorio. Dicha fuerza exterior puede ser un simple impulso
instantáneo, una oscilación mantenida, o incluso puede estar causada por fuerzas de
inercia. Después de un cierto tiempo, la oscilación natural del sistema (régimen
transitorio) desaparece por la presencia defenómenos de resistencia, mientras que la
oscilación estacionaria, debida a la fuerza exterior, tiene su misma frecuencia y
perdura en el tiempo. El régimen transitorio tiene importancia práctica sólo al
principio del movimiento, cuando la oscilación natural del sistema no ha sido
amortiguada apreciablemente. Aunque en la práctica siempre existe cierto
amortiguamiento, es interesante estudiar elcaso límite de las oscilaciones forzadas
con amortiguamiento cero por su sencillez y porque las conclusiones que pueden
extraerse de este modelo matemático son válidas en presencia de amortiguamiento.
1. Oscilación forzada no amortiguada
• Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento es

Newton, la ecuación de movimiento es
22 0 cos
d x
m kx F t
dt
’− +
Las fuerzas que actúan sobreel sistema son la fuerza restauradora del muelle, y la
fuerza exterior de variación armónica. Introduciendo la frecuencia del sistema no
perturbado,
0
k
m
w ’
escribimos esta ecuación como un MAS
2
2 0
2 0 cos
d x F
x t
dt m
+w ’ Ω
• Solución de esta ecuación. En general, cuando el lado izquierdo depende de
la variable x y el derecho no, la solución puede escribirse como la sumag p x’x +x
siendo g x la solución general de la ecuación con el lado derecho igual a cero
2
2
2 0 0
d x
x
dt
+w ’
y p x una solución particular de la ecuación general
2
2 0
2 0 cos
d x F
x t
dt m
+w ’ Ω
En nuestro caso, sabemos que la solución general es
( ) 0 cos g x’A wt+f
donde las constantes A,f dependen de las condiciones iniciales del movimiento.
Para encontrar lasolución particular, suponemos que la respuesta del sistema a la
fuerza exterior es proporcional a ésta. Dicho de otra forma, esperamos que la
respuesta del sistema sea lineal con la perturbación exterior que recibe. Con esto, la
solución particular será de la forma
cos p x’C Ωt
Introduciendo p x en la ecuación del movimiento, se satisface
2 2 0
cos 0 cos cos
F
C tC t t
m
−Ω Ω+w Ω’ ΩDespejando la amplitud C ,
0
2 2
0 ( )
F
C
m w

−Ω
que es la amplitud del movimiento forzado.
• Por tanto, la masa m realiza el movimiento
( ) 0
0 2 2
0
1
cos cos
F
x A t t
m
w f
w
’ + + Ω
−Ω
Es la composición de una oscilación libre (primer término) y una oscilación de
arrastre debido a la fuerza exterior (segundo término).
2. Resonancia
• Fijándonos en la solución particularp x vemos que si la frecuencia Ω de la
fuerza exterior coincide con la frecuencia natural w0 del sistema, la amplitud de la
oscilación forzada tiende a infinito
C →∞ si Ω→w0
Es el fenómeno de la resonancia. Físicamente expresa el hecho de que cuando
Ω’w0 , toda la energía comunicada al sistema por la fuerza exterior es almacenada
por el sistema, con lo que la amplitud crece sin límite.Veremos más adelante que si
Ω≠w0 la potencia media (energía transferida por ciclo) es cero, la energía del
sistema se conserva y la amplitud del movimiento se mantiene constante.
• Cualquier sistema físico sufre algún tipo de amortiguamiento debido al
rozamiento. En ese caso, se mantiene el fenómeno de la resonancia, pero la amplitud
de la oscilación forzada no tiende a infinito, llega a ser muygrande, pero se
mantiene finita.

•11. Movimientos periódicos -
oscilaciones amortiguadas
Los sistemas que se han considerado hasta ahora son idealizaciones en las cuales se considera que no existe fricción, que
únicamente intervienen fuerzas conservativas de tal manera que no hay disminución de la energía mecánica y que una vez que el
sistema se pone en movimiento, éste continúa...
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