Sistemas con un grado de libertad

V.- INTRODUCCIÓN A LA DINAMICA DE LOS SISTEMAS VIBRATORIOS
5.1.- SISTEMAS VIBRATORIOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5.1.1.- Introducción.- Vibración es un término usado para describir movimientos de traslación y/o rotación oscilatorios de un cuerpo o de un sistema de cuerpos en direcciones alternativamente opuestas, respecto a su posición de equilibrio estático.
Las vibraciones son causadas porfuerzas perturbadoras o de excitación (puntuales, aisladas o fluctuantes), que crea en el sistema un desplazamiento con respecto a su posición de equilibrio, los desplazamientos producidos genera un sistema de fuerzas recuperadoras (fuerzas elásticas, como el caso de una masa unida a un resorte o bien fuerzas gravitatorias como el caso del péndulo), que tienden a llevar al sistema a su posición deequilibrio. Al cesar o fluctuar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas recuperadores aceleran al sistema hacia su posición de equilibrio, al cual llegan con una velocidad determinada, que hace sobrepasar está posición, de está manera se genera un movimiento vibratorio u oscilatorio, que puede disminuir, mantenerse o aumentar, según se presente o no fuerzas de resistencia o amortiguamiento.
|Figura F5-1.1a.- Cuerpo elástico continuo |
Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales, para los lineales rige el principio de superposición y los términos matemáticos para su tratamiento están bien desarrollados, en contrario para los no lineales son menos conocidos y difícil de aplicarse, sin embargo, algunos conocimientos del sistema no lineal es deseable puestoque todo los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de oscilación.
Para poder describir el movimiento físico de un sistema se necesita elegir un conjuntto de variables o coordenadas, las cuales se conocen con el nombre de coordenadas generalizadas. Por regular, se representa mediante el simboloqk.
El Movimento de una partícula libre, se describe mediante las coordenadasgeneralizadas q1 = xp, q2 = yp y q3 = zp. En este caso, las tres coordenadas son necesarias para describir el movimiento del sistema. La Cantidad nínima de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimientode un sistema se denomina grados de libertad del sistema. Así, una partícula libre que experimenta un movimiento general en el espacio, tiene tres grados de libertad.
En lafigura F5-1.1b se muestra un péndulo en el plano. El punto pivote de este péndulo en (xt, yt, 0) y el péndulo tiene una longitud L. En este caso, se eligen como coordenadas xp y yp. No obstante, como la longitud del péndulo es constante, estas coordenadas no son independiente entre sí porque:

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Figura F5-1.1b |
La ecuación es un ejemplo de una ecuación de restricción, que en este caso, esuna restricción geométrica. El movimiento del péndulo en el plano se describe por medio de xp o yp. Como , entonces se puede utilizar la variable para describir el movimiento del péndulo, la cual es una coordenada independiente que califica como coordenada generalizada. Como sólo se necesita una variable o coordenada independiente para describir el moviemiento del péndulo, un péndulo de longitudconstante en el plano tiene un grado de libertad.
Es necesario tomar en cuenta las ecuaciones restrictivas en la determinación de la cantidad de grados de libertad de un sistema. Por lo que se refiere a la configuración de un sistema especificado por n coordenadas. las cuales están relacionadas com m restricciones independientes, los grados de libertad N están dados por:

Un cuerpo rígido tieneseis grados de libertad, tres componentes de la posición de un punto base y tres ángulos que definen su orientación. Un cuerpo elástico continuo, requerirá un número infinito de coordenadas (tres para cada punto), para definir su movimiento, por lo tanto tiene infinitos grados de libertad, sin embargo en muchos casos puede suponerse, que partes de dicho cuerpo son rígidos y el cuerpo puede...