Sistemas de ecuaciones de newton

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Método de Bairstow.

El método de Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadráticof2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x). El procedimiento general para el método de Bairstow es:

1. Dado fn(x) y r0 y s0
2. Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que,el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.
3. Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.
4. Se calcula fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).
5. Hacemos fn(x)= fn-2(x)
6. Si el grado delpolinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
7. Si no terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales eimaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado

fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s,tenemos como resultado el siguiente polinomio

fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2

con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.

Los términos b, loscalculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia

bn = an
bn-1 = an-1 + rbn
bi = ai + rbi+1 + sbi+2


Una manera dedeterminar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual calculamos utilizando laserie de Taylor



donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos queresolver es:





Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así

cn = bn
cn-1 = bn-1 + rcn
ci = bi + rci+1...
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