Sistemas de ecuaciones lineales

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C O N T E N I D O

U N I D A D III SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales……………………………………(3)

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución…………………………………(4)

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones……………………………………(8)

UNIDAD III

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definición de sistemas deecuaciones lineales.

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si laecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 yx2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales,también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

[pic]

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales deecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

UNIDAD III

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Existen numerosos modelos económicos que suelenutilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economía.

Para el estudio de estos sistemas tenemos que distinguir tres partes fundamentales:

a. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

b. DISCUSIÓN DEL SISTEMA

c. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.

Estas son las tres fases que suelen plantearse enun sistema de ecuaciones lineales.

Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn. 

Un sistema de ecuaciones es unconjunto de ecuaciones para las que vamos a buscar una solución común.
Los sistemas los vamos a clasificar en lineales y no lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación gráfica es una línea recta.

Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en todos los campos y ciencias yya desde a. C. se tenían métodos para resolver los sistemas.

El término lineal proviene de línea recta que es la expresión más simple de una ecuación y que puede escribirse de la forma a1 ⋅ x + a2 ⋅ y = b donde a1, a2 (coeficientes) y b (término independiente) son ctes. Tal que a1 y a2 no son simultáneamente cero. Dicha ecuación se llama ecuación lineal de incógnitas x e y.

En general...
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