Sistemas de ecuaciones

Cap´
ıtulo 1

Sistemas de ecuaciones
Contenidos del cap´
ıtulo
1.1

Introducci´n a los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . .
o

3

1.2

M´todos directos para sistemas lineales sencillos . . . . . .
e
1.2.1 M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o

4
6

1.2.2
1.2.3

Un ejemplo de aplicaci´n del m´todo . . . . . . . . . . . . . . .
o
eEl algoritmo del m´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . .
e
o

6
7

1.2.4

Implementaci´n en Matlab del m´todo de eliminaci´n gaussiana.
o
e
o

8

1.2.5 Factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o
1.3 N´ meros de condici´n y errores en la soluci´n . . . . . . . .
u
o
o
11
1.3.1 C´lculo del n´ mero de condici´n . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
a
u
o
1.4 M´todos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. . .
e
16
1.4.1
1.4.2

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
El m´todo del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . .
e

16
16

1.4.3
1.4.4

Implementaci´n del m´todo del gradiente conjugado . . . . . .
o
e
M´todo del gradiente conjugado para las ecuacionesnormales .
e

17
19

1.4.5 Otros m´todos iterativos para sistemas lineales . . . . . . . . . 19
e
1.5 Resoluci´n de sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . .
o
20
1.5.1
1.5.2
1.5.3

1.1

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
El m´todo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

20
20

Otros m´todos iterativos parasistemas de ecuaciones no lineales 22
e

Introducci´n a los sistemas de ecuaciones lineales
o

Se denomina sistema de ecuaciones lineales a una expresi´n de la forma
o
Ax = b,

3
Versi´n 30/1/2008
o
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/index.html

4

Sistemas de ecuaciones
donde son conocidas una matriz A



a11 a12 ... a1n
a
a22 ... a2n 

A =  21
. . . . . . . . .. . . . . . . . . ,
an1 an2 ... ann

y el vector columna b, y se busca encontrar el valor del vector x.
Los sistemas de ecuaciones algebraicas, y de una manera especial los lineales, aparecen de manera natural en el planteamiento matem´tico de muchos problemas realistas
a
que aparecen en ingenier´ Adem´s, en esta asignatura nos aparecer´n con frecuencia
ıa.
a
a
cuando discreticemos lasecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
Uno de los m´todos m´s utilizados para resolver sistemas de ecuaciones de pocas
e
a
ecuaciones es la conocida regla de Cramer. Recordemos que ´sta procede mediante la
e
aplicaci´n de la f´rmula
o
o
xj = det(A(j) )/ det(A)
donde la matriz A(j) se forma sustituyendo la columna j-´sima por el vector de t´rmie
e
nosindependientes b. Dado que este m´todo es algor´
e
ıtmicamente sencillo, ¿por qu´ no
e
utilizarlo para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales?
La raz´n es que el m´todo de Cramer tiene un elevado coste en t´rminos de operacioo
e
e
nes matem´ticas. Para un sistema de n ecuaciones requiere calcular n + 1 determinantes
a
y n divisiones. El coste de calcular cada uno de los determinantes es,desarrollando por
filas, del orden de n veces el coste de desarrollar un determinante de orden n − 1 m´s
a
n − 1 sumas. Actuado recursivamente obtenemos que el coste de cada determinante es
O(n!) (despreciando t´rminos de orden n y n2 ). Obviamente para sistemas de ecuaciones
e
peque˜os esto no resulta un inconveniente. Sin embargo, para el caso de sistemas de gran
n
dimensi´n, estadependencia con n lleva a n´meros de operaciones elevad´
o
u
ısimos y hace
que el sencillo m´todo de Cramer no pueda utilizarse de modo eficiente para resolverlos.
e

1.2

M´todos directos para sistemas lineales sencillos
e

Cuando la matriz del sistema de ecuaciones tiene una estructura sencilla es f´cil obtener
a
la soluci´n del sistema Ax = b.
o
Por ejemplo, si A es una matriz...