SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1
en el espacio.
Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geométricamente representan la misma recta o plano.Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1
a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・ x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2
am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・ x3 + ・ ・ ・+ amn ・ xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominanincógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistemasimultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Tipos de sistemas
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen solución)→ S.I.
* COMPATIBLES (Tienen solución)
* DETERMINADOS(Solución única)→ S.C.D.
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.
Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:
* Reducción
* Igualación
* Sustitución
en los que ya no nos entretendremos.
Sistemas de 3 ecuaciones y 3incógnitas
Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitas se utilizaran el ya conocido método de Gauss.
Ahora partiremos de la matriz ampliada:
(A|B) a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3

para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:
a11 a12 a13 b1
0 a∗22 a∗23 b∗2
0 0 a∗33 b∗3

utilizando las transformaciones conocidas, y de la formaindicada en ocasiones anteriores. Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del número de soluciones son los reseñados en apartados anteriores.
Al aplicar el método de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:
* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determinado, tiene solución única.
* Si se obtiene una o más filas en las que todos loselementos sean cero, el sistema tiene infinitas soluciones, y hay que despejar una o varias incógnitas en función de otras, es un sistema compatible indeterminado.
* Si se obtiene una o más filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al terminó independiente, que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuestión correspondería a una ecuación del tipo 0 = k , lo que esimposible, el sistema no tiene solución y por tanto es incompatible.
Ejemplo Resolver por el método de Gauss:
2x + y − z = 11
x − 3y = −20
4x +2y +5z = 8
.
La matriz ampliada es (A|B) = 2 1 −1 11
1 −3 0 -20
4 2 5 8
Aplicando el método de Gauss:
2 1 −1 11
1 −3 0 -20
4 2 5 8

2F2 – F1
F3 – 2F1

2 1 −1 11 2x + y − z = 11
0 −7 1 -51 −7y +...