Sistemas de orden superior

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Sistemas de orden superior

Hasta ahora sólo se ha estudiado la respuesta del régimen transitorio de los sistemas de primer y segundo orden simples. En este capítulo se pretende analizar la evolución temporal de sistemas de orden superior (tercero, cuarto, etc.). El procedimiento para conseguirlo será a través de la adición de los polos y ceros a una FDT simple. No obstante, hay aspectosteóricos que se han visto y que son aplicables con independencia del grado del sistema. Así, se estableció en el capítulo 5 que la estabilidad de los sistemas LTI dependen de la ubicación de los polos de la FDT del conjunto total (también denominado de la cadena cerrada si es realimentado), dentro del dominio complejo. Además, también se observó que los polos o raíces del polinomio característicodefinen la evolución temporal del régimen transitorio. En este capítulo, se tratará de la adición de ceros y polos, tanto en la cadena abierta como en cascada. Se desprenderá que éstos también van a influir notablemente, tanto en la estabilidad, así como en la evolución temporal de la señal de salida. Otro aspecto que se abordará será la determinación de los sistemas equivalentes reducidos, estoes, la búsqueda de un modelo de menor grado que simplifique el análisis de los equipos. Para conseguirlo se necesitará introducir el concepto de polos dominantes.

Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial

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Capítulo 7: Sistemas de orden superior

Apuntes de Regulación Automática

7.1 Efectos de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia
Cuando se dice que seañade un polo o un cero en la cadena abierta, se está haciendo referencia a que se tiene una estructura de realimentación negativa y se está agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de la planta o en la realimentación, esto es, en G(s) o en H(s). Por eso, se dice que es en la cadena abierta, por que es la adición del efecto del polo o del cero cómo si se abriera el lazo de realimentación.En cambio, si el procesamiento del efecto añadido se hace en cascada con el sistema total, se dice que se ha añadido un cero o un polo al conjunto total. Obsérvese los diagramas de la figura 7.1 para diferenciar en la adición en cadena abierta y en serie.
1 1 + sT

+ -

G (s)

G (s )
p

(1+ sTz )

Figura 7. 1. a) Añadir un polo en la cadena abierta b) Añadir un cero en serie

7.1.1Adición de un polo en la cadena abierta La adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el sistema en su conjunto sea más lento y pierda estabilidad. Una de las formas, para llegar a esta conclusión, es a través de las técnicas del lugar de las raíces, LDR (ver capítulo 10). Estas técnicas describen, mediante criterios gráficos, las raíces del polinomio característico, 1+G(s)H(s)=0, apartir de la información de la cadena abierta. Los resultados son los polos de la cadena cerrada y por lo tanto definirán la estabilidad y el tipo de respuesta temporal. Si a un sistema subamortiguado, por ejemplo el indicado en la figura 7.2, se le añade un polo en la cadena abierta, las ramas del LDR (soluciones del conjunto cerrado dependiente de la ganancia estática) se orientan hacia elsemiplano positivo. De este efecto se concluye que el sistema se hace más inestable y más lento. Con el fin de tener un marco de referencia idéntico se va a utilizar la misma planta piloto, facilitando la explicación de los efectos de añadir los polos y ceros, tanto en la cadena abierta como cerrada. Se ha elegido un modelo de segundo orden simple y

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Apuntes de Regulación Automática

Capítulo 7: Sistemas de orden superior

subamortiguado, con una frecuencia natural de 1 [rad/s], un factor de amortiguamiento de 0.5 y una ganancia estática unitaria.

+ -

k  s  ω  n   s   + 2ξ   ω +1    n 
2

1 1 + sT

p

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5...
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