Sistemas de segundo orden

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1.
2.
3.1.
Sistemas de segundo orden
3.2.1. Respuestas de escalón de sistemas de segundo orden
La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema de segundo orden es

CsRs=KJs2+Bs+K
(2.1)

La cual puede reescribirse como

CsRs=KJs+B2J+B2J2-KJs+B2J-B2J2-KJ
(2.1)

Los polos en lazo cerrado son complejos si B2-4JK<0, y son reales si B2-4JK≥0, en elanálisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir que KJ=ωn2, y que BJ=2ζωn=2σ.
Sustituyendo lo anterior en la ecuación 2-1, obtenemos que la función de transferencia es

CsRs=ωns2+2ζωns+ωn
(2.1)

El sistema de la función de transferencia que aparece en la ecuación anterior se muestra en la figura 2.1

Figura 2.1 Sistema de Segundo Orden

El comportamiento dinámico del sistema desegundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros ζ y ωn. Si 0 < ζ < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ζ=1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden aζ > 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ζ=0, la respuesta transitoria no se amortigua. Ahora obtendremos la respuesta del sistema que aparece en la figura 2.1 para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes: el subamortiguado (0 < ζ < 1), el críticamente amortiguado (ζ = 1) y el sobreamortiguado(ζ > 1).
Caso subamortiguado
En este caso, la función de transferencia se escribe como

C(s)R(s)=ωn2s+ζωn+jωds+ζωn-jωd
(2.1)

En donde ωd=ωn1-ζ2. La frecuencia ωd se denomina frecuencia natural amortiguada, para una entrada de escalo unitario, C(s) se escribe como

Cs=ωn2s2+2ζωn+ωn2s
(4.20)

La transformada inversa de Laplace de la ecuación 4.20 se obtiene con facilidad si C(s) seescribe en la forma siguiente

Cs=1s-ωn2s2+2ζωn+ωn2
(4.21)

Por tanto, la transformada inversa de Laplace para la ecuación 4.20 se obtiene como

L-1C(s)=1-e-ζωnt1-ζ2sinωdt+tan-11-ζ2ζ
(4.22)

Este resultado se obtiene directamente usando una tabla de transformadas de Laplace. A partir de la ecuación (4-21) se observa que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia naturalamortiguada ωd y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento relativo ζ. La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es

et=e-ζωntcosωdt+ζ1-ζ2sinωdt
(4.23)

Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. En estado estable, o en t=∞, no existe un error entre la entrada y la salida.
Si el factor de amortiguamiento relativoζ es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. La respuesta c(t) para el caso del amortiguamiento cero se obtiene sustituyendo ζ=0 en la ecuación (4-22), lo cual produce

ct=1-cosωnt, para t≥0
(4.24)
Por tanto, a partir de la ecuación (4.24), establecemos que ωn representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir, ωn esla frecuencia a la cual el sistema oscilaría si el amortiguamiento disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad de amortiguamiento, no se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. La frecuencia que se observa es la frecuencia natural amortiguada ωd, que es igual a ωn1-ζ2. Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no amortiguada.Un aumento en ζ reduciría la frecuencia natural amortiguada ωd. Si ζ aumenta más allá de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilará.
Caso críticamente amortiguado
Si los dos polos de C(s)R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado.
Para una entrada de escalón unitario, Rs=1s y C(s) se escribe como

Cs=ωn2(s+ωn)2s
(4.25)

La...
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