Sistemas lineales aplicados a circuitos electricos

SISTEMAS LINEALES APLICADOS A CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La figura(1.1) muestra el circuito, en el que las baterias tienen los potenciales electricos indicados, medidos de la negativa ala positiva, y las resistencias tienen los valores señalados.El problema consiste en determinar las corrientes que fluyen por cada segmento del circuito.
fig 1.1
Primero asignamos incògnitas para cada segmento delcircuito ue comienza en cierto nodo y termina en otro (sin nodos intermedios). Por ejemplo, en la figura, asignamos I1 al segmento f-a-b-c, I2 al segmento f-c, e I3 al segmento c-d-e-f. Además, asignamos direcciones arbitrarias a estas corrientes como indican las flechas de la figura. Si la direccion asignada es correcta el resultado saldra positivo pero si es negativo resultara negativo. Esteúltimo caso indica, por lo tanto, que la dirección real del flujo de corriente que se obtenga será positiva; si es incorrecta, el valor de corriente será negativo. Este último caso indica, por lo tanto, que la direcciòn real del flujo de corriente es justamente la opuesta a la asignada originalmente. Utilizando la ley de las leyes de Kirchhoff (la suma de las corrientes de entrada es igual a las desalida) en los puntos c y f, tenemos.
I1 +12=I3
E
I3+I2=I1
(1)

Respectivamente. Como estas dos ecuaciones contienen la misma inforamación, sólo necesitamos una de ellas. En general, si un circuito tiene n nodos, la ley de la corriente de Kirchhoff proporcionará n-1ecuaciones útiles y una ecuación que es una combinación lineal de las otras n-1.
A continuación nos valemos de la ley de voltajede Kirchhoff. Partimos del purnto a y nos movemos por la bateria de (-) a (+) hasta el punto b. de modo que la diferencia de potencial es de +40V. Al ir del punto b al c por la resistencia de 5, se tiene una dferencia de potencial -5I. Al ir del punto c al punto f por la bateria de 120 v y una resistencia de 10se tiene una diferencia de potencial de -120v (a lo largo de la bateria) y una diferenciade potencial de +10 I2 (a travès de la resistencia). Por ultimo al ir del punto f al punto a no hay diferencuia de potencial. En resumen al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en el ciclo a-b-c-f-a, obtenemos:
(+E1)+(-R1I1)+(+R2I2)=0
ó
(+40)+(-5I1)+(-120) +(10I2)=0
Es decir
I1-2I2=-16
De manera análoga, al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en el ciclo c-d-e-f-c, obtenemos:(-R3I3)+(+E3)+(-R4I3)+(-R2I2)+(+E2)=0
O
(-20I3)+(+80)+(-30I3)+(-10I2)+(120)=0.
Esto se simplifica a 10I2+50I3=200, o
I2+5I3=20.
Observe que la ecuación resultante del ciclo de voltaje a ->b->c->d->e->f->
A se convierte en
(+E1)+(-R1I1)+(-R3I3)+(+E3)+8-R4I3)=0
O
(+40)+(-5I1)+(-20I3)+(+80)+(-30I3)=0
Lo cual se simplificn a
I1+10I3=24.
Pero esta ecuación es justamente lacombinación lineal Ecuación (2)+2 ecuación (3) y, por lo tanto, no proporciona nueva información; en concecuencia, es redundante y se puede omitir .En general, un ciclo exterior mayor, como a ->b->c->d->e->f->a no proporciona nueva informacion sí todos sus ciclos interiores, como a->b->c->d->e->f->c, ya han sido incluidos.
Las ecuaciones (1), (2) y (3) conducen alsistema lineal

Al resolver para I1,I2 e I3 obtenemos:
I1=-3.5 A, I2= 6.25 A e I3=2.75ª
El valor negativo de I1 indica que su verdadera direcciòn es la opuesta a la que se le asignó en la figura.
En general, en el caso de un circuito electrico que consta de baterias, resistencias, y cables, y que tienen n diferentesasignaciones de corriente, las leyes de voltaje y corriente de kirchhoff siempre conducen conducen a n ecuaciones lineales que tienen una única solución.

Ejemplo 2:
Considerese la red elèctrica de la figura 1.2. Determine la corriente a través de cada ramal de esta red.
fig. 1.2
Sean las corrientes en los distintos ramales del circuito de arriba, I1, I2, I3. Las leyes de kirchhoff se...