Sistemas

Autovalores y Autovectores: Definición y propiedades.
Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ ∈ K (= R o C) es un autovalor de A
si existe un vector v ∈ Km, v =0 tal que Av = λv, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al
autovalor λ.
Proposición. Sea λ un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces:
1. αλ es un autovalor deαA con auto
*
autovalores.
Son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalarλ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espaciopropio, autoespacio o
*Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Forma cuadrática

Una FORMA CUADRÁTICA q, es toda aplicación deRn en R tal que a cada vector (x1,...,xn)ð Rn le hace corresponder el valor numérico dado por un polinomio cuadrático.

Sea q una forma cuadrática en las variables x1,x2,...,xn

entonces se puedeexpresar en forma matricial como

siendo A una matriz de orden n, y A=(aij) i,j=1,...,n
 
 
Si continuamos con la forma cuadrática anterior, podemos observar que otra posible forma matricialvendría dada a partir de la matriz

puesto que efectuando

obtendríamos la misma expresión polinómica.
 

La forma cuadrática de una matriz cuadrada A se obtiene multiplicando la matriz porla derecha y por la izquierda con el vector X.

Ejemplo: Obtener la forma cuadratica la matriz
 2    1    -1
 5    4     2
 3    5    -1
               2    1    -1    x
    [x y z]    5   4     2    y
               3    5    -1    z
Obtendremos: 2x2 + 4y2 - z2 + 6xy + 2xz + 7zy

Conjunto convexo
En un espacio vectorial real, se dice que una parte C es convexa si para cada par...