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ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD I. RESUMEN INTRODUCCIÓN
CONTENIDO
1.
2.
3.
4.

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL (ED)
CLASIFICACIÓN ED
SOLUCIONES
LAS ECUACIONES DIFERENCIALESCOMO MODELOS MATEMÁTICOS

1. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL (ED)
Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a
una o más variablesindependientes. Algunos ejemplos:
𝑑𝑦
+ 10𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
−

𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+
+ 6𝑦 = 0
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕𝑢
= 2 −2
2
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑡
El reto es obtener la función a partir de su derivada o de sus derivadas.2. CLASIFICACIÓN ED
Por su tipo:

Ecuación diferencial ordinaria (EDO) y ecuación con derivadas parciales

Ecuación diferencial ordinaria (EDO). Algunos ejemplos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 10𝑦 = 𝑒 𝑥 ;

−𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2

+

𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 6𝑦 = 0 ;

𝑑𝑦
𝑑𝑥

− 2𝑥𝑦 = 0

(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0
Ecuación con derivadas parciales. Algunos ejemplos:

𝜕𝑢
𝜕𝑦

=−

𝜕𝑣
𝜕𝑥

;

𝑥

𝜕𝑢
𝜕𝑥

+ 𝑦

𝜕𝑢𝜕𝑦

= 𝑢 ;

𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2

=

𝜕2 𝑢
𝜕𝑡 2

−2

𝜕𝑢
𝜕𝑡

Por su orden: Es la derivada de mayor potencia que se tenga en la ecuación. Será de primer
orden si la derivada mayor es la primeraderivada de la función; será de segundo orden si aparece
la segunda derivada como la más alta derivada de la ecuación, y así sucesivamente. Algunos
ejemplos:
ECUACIÓN

ORDEN

𝑑𝑦
+ 10𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥(

(

Primer orden

𝑑𝑦 3
𝑑𝑦
) +
− 5𝑦 = 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥

Primer orden

𝑑𝑦 3
𝑑2 𝑦
) + 2 − 5𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦

Segundo orden

Solución.
Dividimos entre dx

¿Cuál es el orden de ésta?(𝑥−𝑦)𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0

𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑦) +
4𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

4𝑥𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑦
4𝑥 𝑑𝑥 = 0

+

y resulta
finalmente

− 𝑦 = −𝑥 Es una ED primer orden

Por su grado. El grado de unaecuación diferencial algebraica está dado por la potencia del
término que contenga el orden mayor de la ecuación. Por ejemplo:
3

√(

𝑑2 𝑦 2
𝑑𝑦
) = √1 + ( )2
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥

En este caso la...