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ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EJEMPLO 34 Una pelota en caída libre Se deja caer una pelota de masa m desde una altura h arriba del piso, como en la figura 29. a. Determínese la rapidez de la pelota cuando se encuentra a una altura y por arriba del piso, despreciando la resistencia del aire. Puesto que la pelota está en caída libre, la única fuerza que actúa sobre ella es lagravitacional; por lo tanto, es posible aplicar la ley de conservación de la energía mecánica. Cuando la pelota se libera a partir del reposo a una altura h por arriba del piso, su energía cinética es K i = 0 y su energía potencial es U i = mgh , en donde la coordenada y se mide a partir del nivel del piso. Cuando la pelota se 2 encuentra a una distancia y arriba del piso, su energía cinética es K f =1 2 mv f y su energía potencial en relación con el piso es U f = mgy . Al aplicar la ecuación se obtiene

Ki + Ui = Kf + Uf
1 0 + mgh = 2 mv f 2 + mgy

v f 2 = 2g (h − y )

v f = 2g (h − y )

b. Determínese la rapidez de la pelota en y si se hubiera tenido una rapidez inicial v en la altitud inicial h. En este caso, la energía inicial incluye la energía cinética igual a ecuación da
1 2 1mv i 2 + mgh = 2 mv f 2 + mgy
1 2

mv i 2 y la

v f 2 = v i 2 + 2g ( h − y ) v f = v i 2 + 2g ( h − y )
Obsérvese que este resultado coincide con una expresión de la cinemática v y 2 = v y 0 2 − 2g( y − y 0 ) , en donde y 0 = h .

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Figura 29. Se deja caer una pelota desde una altura h arriba del piso. Inicialmente, su energía total es energía potencial, igual a mgh respecto al piso.A la altura y, su energía total es la suma de las energías cinética y potencial

Además, este resultado es válido incluso si la velocidad inicial forma un ángulo con la horizontal (como es la situación con los proyectiles). EJEMPLO 35 Bloque en movimiento sobre un plano inclinado Un bloque de 3 kg se desliza hacia abajo de un plano inclinado áspero cuya longitud es de 1 m como se ve en lafigura 30a. El bloque parte del reposo en la parte superior y experimenta una fuerza constante de fricción cuya magnitud es de 5 N; el ángulo de inclinación es de 30°. a. Utilice los métodos de la energía para determinar la rapidez del bloque al llegar hasta el extremo inferior del plano inclinado.

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Figura 30. a) Un bloque se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado áspero, con lainfluencia de la gravedad. Su energía potencial disminuye mientras que su energía cinética aumenta. b) Diagrama de cuerpo libre para el bloque.

a partir del extremo inferior del plano, entonces y i = 0.50m . Por lo tanto, la energía mecánica total del bloque en el extremo superior es la energía potencial dada por

Puesto que v i = 0 , la energía cinética inicial es cero. Si se mide la coordenada ym ⎛ E i = U i = mgy i = ( 3kg )⎜ 9.80 2 ⎞(0.50m ) = 14.7 J ⎟ s ⎠ ⎝
Cuando el bloque llega al punto más bajo, su energía cinética es
2 1 2

energía potencial es cero ya que su elevación es y f = 0 . En consecuencia, la caso no se puede decir que E i = E f ya que existe una fuerza no conservativa que energía mecánica total en la parte inferior es E f = 1 2 mv f . Sin embargo, en este

mv f 2, pero su

realiza el trabajo W ' sobre el bloque, a saber, la fuerza de rozamiento, Wnc = − fs , en donde s es el desplazamiento a lo largo del plano. (Recuérdese que las fuerzas normales al plano no efectúan trabajo sobre el bloque puesto que son perpendiculares al desplazamiento.) En este caso, f = 5N y s = 1m , por lo tanto,

Wnc = − fs = ( −5N )(1m ) = −5 J
Esto significa que se pierdeparte de la energía mecánica debido a la presencia de la fuerza retardadora. Al aplicar el teorema del trabajo y la energía en la forma de la ecuación se tiene

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Wnc = E f − E i
1 − fs = 2 mv f 2 − mgy i 1 2

mv f 2 = 14.7 J − 5 J = 9.7 J vf 2 = 19.4 J = 6.47 m 2 /s 2 3kg

v f = 2.54m /s
b. Verifíquese la respuesta obtenida en el inciso a usando la segunda ley de Newton con el fin...