Sistemas

Unidad I: Series de Fourier 1.1 Funciones periódicas 1.1.1 Funciones periódicas con periodo T 1.1.2 Periodo fundamental de una función periódica 1.1.3 Funciones par e impar 1.1.4 Suma y producto de funciones pares e impares 1.2 Series de Fourier 1.2.1 Series de Fourier y sus coeficientes 1.2.2 Fórmulas de Euler para los coeficientes de Fourier 1.2.3 Forma general de una serie de Fourier deperiodo arbitrario 1.2.4 Forma general de la serie de Fourier de una función par e impar 1.2.5 Espectros de amplitud y fase 1.2.6 Forma exponencial compleja de la serie de Fourier

1.1 FUNCIONES PERIODICAS 1.1.1 Funciones periódicas con periodo T El periodo es la longitud del intervalo en que se repite una función. Una función es periódica si existe un número real positivo T, tal que f(x+T)=f(x) paratoda x del dominio f. El menor número real positivo T, es el periodo de f, también se le conoce como periodo fundamental. 1.1.2 Periodo fundamental de una función periódica Por ejemplo, los periodos fundamentales de las funciones seno y coseno es 2π, de ellos se desprende el teorema sobre la repetición de los valores funcionales: senx+2nπ=senx y cosx+2nπ=cosx Para dar una medida del número derepeticiones por unidad de x, definimos a la frecuencia de una función periódica como el recíproco de su periodo: f=1T. El término frecuencia circular también es muy usado y se expresa como ω=2πT. Las funciones periódicas con periodo arbitrario (como las funciones constantes) no tienen periodo fundamental. Ejemplos: a) f(x) = sen(x)

b) f(x)=x2 para 0≤x=2.

Por definición, h(n) es la respuestadel sistema a la entrada sistema es lineal e invariante con el tiempo, se tiene: x (n+2) = 3 con , o sea que

Como el

= 1/3 x (n+2). Como la convolución de h(n)

es por definición igual a h(n) , se tiene que h(n) = 1/3 y (n+2).

La salida se puede expresar en la siguiente forma:

De

forma

que

Ejemplo 4. Encuentre la convolución entre las funciones: a) h(n)= 2-n .u(n)) y x1(n)=u(n) .Represéntela gráficamente b) h(n)= 2-n .u(n)) y x2(n)= u(n) -u(n-5).Represéntela gráficamente Hacemos la correspondientes asignaciones.

Podemos calcular las convoluciones de manera simbólica, asi:

Puede notarse que u(n - k)=1 para K = 0,1,2,....n con lo que podemos escribir;

Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]= 2(1-2(n+1) )u(n). Para el caso b), seobtiene: x2[n]= u(n)-u(n-5). Por tanto, usando la propiedad de traslación y el resultado anterior, tenemos: y2[n]= y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-2-(n-5+1))u(n-5). Simplificado, se encuentra que: y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)2(1-24-n)u(n-5). y1[n]-y1[n-5].

Si

se

hacen

las

correspondientes

asignaciones,

se

tiene

que:

y1[n]= y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)2(1-24-n)u(n-5).2(1-2-(n+1))u(n).

Ejemplo 5. En un sistema lineal e invariante con el tiempo, determine y(n) sabiendo que:

Solución.

Se sabe que

u(m) u( n-m) =1

para

y

0 para otra asignación.

Se sabe que u(m-7) u(n-m) = 1 para

y 0 para otra asignación.

Por tanto

Cuando la excitación es u(n-5), la respuesta será y (n-5). Por tanto, para la excitación dada, la respuesta es:

Ejercicios 7.21. Sean calcule a) b) c) x[n-2]* h[n] 2. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado por las x x siguientes [n]* [n]* convoluciones: h[n] h[n-2]

determine

y

dibuje

la

salida

y[n]

.

3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde

4. Sea entero. Determine y[n] = x[n] * h[n] si y[4] = 5 y y[14] = 0

es un

5. Un sistema lineal invariante con eltiempo se excita con el impulso digital

unitario y su respuesta es sabiendo que

Determine y[k]

x[k]= u(k)-u(k-4). Represente x[k] y

6. Un sistema lineal S tiene la relación donde g[n]=u(n)-u(n-4). Determine y[n] cuando:

7. Considere el sistema discreto cuya respuesta al impulso es

Determinar el entero A tal que

8. En el sistema lineal invariante cuyas respuestas al impulso son:...