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Coordenadas tridimensionales.1
 
Un punto en el espacio queda determinado dando su localización con respecto a tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí que pasan por el origen O. Siempre trazaremos los ejes  como se muestra en la figura 1, con flechas que indican la dirección positiva a lo largo de cada eje. Con esta configuración de ejes nuestro sistema de coordenadas es un sistema'derecho'; si usted dobla los dedos de su mano derecha en la dirección de un giro de  desde el eje  positivo hasta el eje  positivo, entonces su pulgar apunta en la dirección del eje  positivo. Si se intercambian los ejes  e , entonces el sistema de coordenadas serí a 'izquierdo'. Estos dos sistemas de coordenadas son diferentes, en le sentido de que es imposible hacerlos coincidir por medio derotaciones y traslaciones.

Figura 1.
[ Ver en ambiente 3D ]
 
 
Los tres ejes coordenados, considerados por pares, determinan los tres planos coordenados:
 El plano (horizontal) , donde ;

[ Ver en ambiente 3D ] 
 El plano (vertical) , donde ;
 
 
[ Ver en ambiente 3D ] 
 El plano (vertical) , donde .

[ Ver en ambiente 3D ] 
El punto  en el espacio tiene las coordenadasrectangulares  si
  es su distancia (con signo) al plano ,
  es su distancia (con signo) al plano ,
  es su distancia (con signo) al plano .
En este caso, podemos describir la posición del punto  simplemente escribiendo. Existe una correspondencia biunívoca natural entre las ternas ordenadas de nú meros reales y los puntos  del espacio; esta correspondencia es un sistema de coordenadas rectangulares en elespacio. En la figura 2 se muestra los puntos (2,2,0) en azul  y  (2,2,1) en rojo.

Figura 2.
[ Ver en ambiente 3D ] [ Graficador de puntos 3D ]
 
Primer Octante
Podemos dividir el espacio en 8 octantes, respecto al sistema de ejes XYZ. El primer octante está  limitado por la parte positiva de los planos XY, YZ y XZ
 

[ Ver en ambiente 3D ] 
 
Distancia entre dos puntos
La distanciaentre los puntos  está dada por:
 

 
Ejemplo 1
Hallar la distancia entre los puntos  y .
Solución
Apliquemos la fórmula de distancia

 
Vectores en el espacio
Ahora vamos a resumir una serie de resultados sobre vectores tridimensionales, estos nos será n de utilidad en el desarrollo de temas posteriores. El desarrollo será presentado sin detalle, pues fueron temas de cursos anteriores.Operaciones con vectores
Dados los vectores  y  y el escalar , entonces
> Suma de vectores: 

Figura 3.
[ Ver en ambiente 3D ] 
 
> Producto por escalar: 
> Producto punto  
> Producto cruz

 

Figura 4.
[ Ver en ambiente 3D ] 
 
> Una interpretación del producto punto
Si  es el á ngulo entre los vectores  y , entonces

 
> Cosenos directores
Los á ngulos de dirección delvector no nulo  son los á ngulos  medidos, respectivamente, desde los vectores . Los cosenos de estos á ngulos se conocen como cosenos directores del vector  y está n dados por

 
> Componente de  a lo largo de 

 
> Vectores perpendiculares
Dos vectores  y  son perpendiculares si su producto punto es cero, es decir,
 

 
> Perpendicularidad del producto cruz
El producto cruz  esperpendicular a  y , es decir,
 

 
> Longitud del producto cruz

 
>Vectores paralelos

Figura 5.
[ Ver en ambiente 3D ] 

Dos vectores no nulos  y , son paralelos si y sólo si . Tambié n son paralelos si y sólo 

ELEMNTOS
Elementos tridimensionales
Los elementos tridimensionales o volumétricos son elementos que en general presentan estados de tensión biaxial o triaxial, en los que nopredomina una dirección dimensión sobre las otras. Además estos elementos suelen presentar tracciones y compresiones simultáneamente según diferentes direcciones, por lo que su estado tensional es complicado. Entre este tipo de elementos están:
* Las mensulas de sustentación
* Las zapatas que presentan compresiones según direcciones cerca de la vertical al pilar que sustentan y tracciones...
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