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ONDAS ESTACIONARIAS

FUNDAMENTO Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx-ωt. Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar laformación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto a la incidente. La superposición de lasdos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias. Ecuación de la onda incidente, sentido (→): Ecuación de la onda reflejada1, sentido (←):
y1 = A cos(kx − ωt ) y2 = A cos(kx + ωt + π )

[1a] [1b]

En las ecuaciones [1a] y [1b], k representa el número de ondas k = 2π λ y ω es la frecuencia angular ω = 2π T , siendo λ y T la longitud de onda y elperiodo, respectivamente. El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente y reflejada, es el siguiente:

y = y1 + y2 = A cos( kx − ωt ) + A cos( kx + ωt + π ) = 2 Asenkxsenωt

[2]

1

La onda reflejada cambia su fase en π radianes. -1/6-

Ondas estacionarias

El término senωt representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la amplitud, la cual obviamentedepende de la posición x. Es decir, los distintos puntos de la cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes2. Significado físico de la superposición expresada por la ecuación [2]. Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremosx = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes: y x = 0 = 2 A sen 0 = 0 y x = L = 2 A sen kL = 0 [3]

De la condición expresada por la ecuación [3] se deduce que:
kL = nπ

(n = entero)





λ

L = nπ



L=n

λ
2

[4]

La ecuación [4] quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos que cumplan la condición de quela longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda. En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición sen kxm = 0 → kxm = mπ → xm = m

λ
2

donde m toma todos los valores sucesivos m = 1, 2,..., n-1. La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación[4]. Ésta se denomina frecuencia

2

En la siguiente página web puede encontrarse un applet que contiene una buena representación gráfica: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/estacionarias/estacionarias.html#Explicación%20de%20las%20ondas% 20estacionarias%20en%20una%20cuerda

Ondas estacionarias

-2/6-

fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodosintermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación [4], el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. En la figura 1 aparece una representación de diversos armónicos.

Figura 1. Armónicos en una cuerda vibrante. Se representan desde el fundamental (a) hasta el 5º armónico (d). N indica los nodos, A los antinodos.

Velocidad de propagación de las...
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