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Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< | menor que | 2x − 1 < 7 |
≤ | menor o igual que | 2x − 1 ≤ 7 |
> | mayor que | 2x − 1 > 7 |
≥ | mayor o igual que | 2x − 1 ≥ 7 |
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.
Podemos expresar lasolución de la inecuación mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8     x < 4

(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8     x > 4

(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 <5         3x + 4 − 4 < 5 − 4       3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6                2x : 2 < 6 : 2       x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalentea la dada.
−x < 5          (−x) · (−1) > 5 · (−1)      x > −5
Inecuaciones de primer grado

Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Quitar corchetes.

2º Quitar paréntesis.

3º Quitar denominadores.

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.5º Efectuar las operaciones

6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

7º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica:

Como un intervalo:
[3, +∞)

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de lossemiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)
x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)
3º Al representar yunir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta nopertenecen a la solución.

Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cadaintervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
  |   | Solución |
x2 +2x +1 ≥ 0 | (x + 1)2 ≥ 0 | |
x2 + 2x +1 > 0 | (x + 1)2 > 0 | |
x2 + 2x +1 ≤ 0 | (x + 1)2 ≤ 0 | x = − 1 |
x2 + 2x +1 < 0 | (x + 1)2 < 0 | |
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene...