Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias parciales

ANÁLISIS NUMÉRICO

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PARCIALES

7.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Introducción
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Las ecuacionesdiferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejosque envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en terminos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones estan acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en untiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solucón exacta de un problema de valor inicial es imposible ó dificil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los métodospara ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
7.1.1 Métodos de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así enhonor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Los métodos de Euler.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores inicialesy ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.
De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:
;
o bien
en donde
Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1,y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña.
Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener unasucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . . ., (xn, y(xn)).
Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:
; o bien es decir
En general se tiene que:


En donde xn = x0 + nh.
Ejemplo: Utilice el método de Euler para obtener una aproximación dey(1.5); a) con h= 0.1 y b) con h =0.05 para el problema de valor inicial y ’ = 2xy sabiendo que y(1) = 1. Compare con el valor verdadero de y a partir de la solución .
a) f(x, y) = 2xy; x0 = 1; y0 = 1; ‘ h = 0.10
y1 = y0 + h(2 x0 y0) = 1 + 0.10 [2 (1) (1) ] = 1.2
y2 = y1 + h(2 x1 y1) = 1.2+ 0.10 [2 (1.1) (1.2) ] = 1.4640.
Ver tabla para los demás valores obtenidos.
N | Xn | Yn |
0 |...